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La première montre que le sommet du cône sera ce même point $\mathrm {S}$ dont les plans polaires relatifs aux surfaces dirimantes sont les plans $(\Pi _{k}).$ La seconde montre que le cône est circonscrit à la surface

${\frac {x^{2}}{\alpha -\delta ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta -\delta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma -\delta ^{2}}}=1,$

qui est homofocale aux quatre surfaces $(\mathrm {S} _{k}).$

Si, pour abréger, nous disons que $\lambda$ est le paramètre de la surface homofocale représentée par l’équation (17), nous pourrons énoncer la proposition suivante :

L’enveloppe des plans tangents doubles de la paracyclique est le cône de sommet $\mathrm {S}$ circonscrit à la surface homofocale de paramètre $\lambda =-\delta ^{2}.$

Nous désignerons ce cône, dans la suite, par la lettre $(\Gamma ).$

III.

équation en coordonnées ponctuelles de la paracyclide.

Avant de continuer cette étude, proposons-nous de rechercher comment on déterminerait l’équation en coordonnées ponctuelles de la paracyclide. Si l’on cherche l’enveloppe du plan tangent et si l’on remarque que $u,\,v,\,w,\,p$ sont liés par les équations (3) et (6), on voit qu’il faudra, pour appliquer les principes de la théorie des enveloppes, joindre à ces équations et à celle du plan tangent des relations telles que les suivantes

(23)

$\left\{{\begin{aligned}\theta x=&-\alpha u-\alpha '-\sigma u\\\theta y=&-\beta u\,-\beta '-\sigma v\\\theta z=&-\gamma u\ -\gamma '-\sigma w\end{aligned}}\right.\qquad (\theta =p+\delta ),$

où $\theta$ et $\sigma$ désignent deux arbitraires auxiliaires.

On tire de là

(24)

$u=-{\frac {\theta x+\alpha '}{\alpha +\sigma }},\qquad v=-{\frac {\theta y+\beta '}{\beta +\sigma }},\qquad w=-{\frac {\theta z+\gamma '}{\gamma +\sigma }}.$

En portant ces expressions de $u,\,v,\,w$ dans les équations (2), (3) et (6), on a

(25)

$\left\{{\begin{aligned}&\theta \;\mathrm {P(\sigma )+Q} (\sigma )=0,\\&\theta ^{2}\mathrm {P(\sigma )-R(\sigma )} =0,\\2\mathrm {Q(\sigma )Q'(\sigma )} &\mathrm {-P(\sigma )R'(\sigma )-P'(\sigma )R(\sigma )} =0\,;\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {R} (\sigma )$ ayant la signification définie par la formule (14) et $\mathrm {P} (\sigma ),\mathrm {Q} (\sigma )$ étant les