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est de la forme $4k+1.$ Cela posé :

« Je dis que le polynome $\mathrm {X}$ se déterminera en général par la formule^[1]

$\mathrm {X} =2(x+y)^{m},$

où $m={\frac {n-1}{2}},$ pourvu qu’après avoir développé cette puissance, on retranche des coefficients tous les multiples de $n$ qu’ils peuvent contenir, en ne conservant que les restes moindres que ${\frac {1}{2}}n.$ »

En effet la quantité $\mathrm {A} =(a+1)^{n}-a^{n}-1$ est toujours divisible par $n,$ quel que soit l’entier $a.$ Supposons $a+1$ non divisible par $n,$ alors ${\frac {\mathrm {A} }{a+1}}=(a+1)^{2m}-\left({\frac {a^{n}+1}{a+1}}\right)$ sera divisible par $n\,;$ multipliant par $4$ et observant que $4\left({\frac {a^{n}+1}{a+1}}\right)$ peut être mis sous la forme $\mathrm {B} ^{2}\pm n\mathrm {C} ^{2},$ on aura le nombre $4(a+1)^{2m}-\mathrm {B} ^{2}\mp n\mathrm {C} ^{2},$ ou seulement sa partie $4(a+1)^{2m}-\mathrm {B} ^{2}$ qui sera divisible par $n\,;$ Donc $2(a+1)^{m}\pm \mathrm {B}$ sera encore divisible par $n\,;$ et comme le signe de $\mathrm {B}$ est à volonté ; on pourra faire $\mathrm {B} =2(a+1)^{m}.$ C’est ce que donnerait la formule énoncée dans le théorème en faisant $x=ay.$

58. Soit par exemple $n=11,$ on aura $m=5,$ et

$\mathrm {X} =2(x+y)^{5}=2x^{5}+10x^{4}y+20x^{3}y^{2}+20x^{2}y^{3}+10xy^{4}+2y^{5}\,;$

réduisant comme il vient d’être dit, les coefficients au-dessous de ${\frac {1}{2}}n,$ on aura la vraie valeur de $\mathrm {X} ,$ savoir

$\mathrm {X} =2x^{5}-x^{4}y-2x^{3}y^{2}-2x^{2}y^{3}-xy^{4}+2y^{5}.$

1. Cette formule offre pour déterminer $\mathrm {X}$ un moyen beaucoup plus simple que celui que nous avions indiqué dans la Théorie des nombres, art. 478.