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MÉMOIRE SUR LES LOIS

Les vitesses de la molécule $\mathrm {M}$ dans le sens des axes étant $u,$ $v,$ $w,$ celles de la molécule $\mathrm {M} '$ sont au même instant

${\begin{alignedat}{2}&u&&+{\frac {du}{dx}}\alpha &&+{\frac {du}{dy}}\beta &&+{\frac {du}{dz}}\gamma ,\\&v&&+{\frac {dv}{dx}}\alpha &&+{\frac {dv}{dy}}\beta &&+{\frac {dv}{dz}}\gamma ,\\&w&&+{\frac {dw}{dx}}\alpha &&+{\frac {dw}{dy}}\beta &&+{\frac {dw}{dz}}\gamma ,\\\end{alignedat}}$

en négligeant les puissances supérieures des coordonnées $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ qui sont toujours supposées extrêmement petites. On a donc

${\begin{aligned}{\frac {\alpha }{\rho }}\left({\frac {du}{dx}}\alpha +{\frac {du}{dy}}\beta +{\frac {du}{dz}}\gamma \right)&+{\frac {\beta }{\rho }}\left({\frac {dv}{dx}}\alpha +{\frac {dv}{dy}}\beta +{\frac {dv}{dz}}\gamma \right)\\&+{\frac {\gamma }{\rho }}\left({\frac {dw}{dx}}\alpha +{\frac {dw}{dy}}\beta +{\frac {dw}{dz}}\gamma \right)=\mathrm {V} \end{aligned}}$

pour la différence des vitesses des molécules placées aux points $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {M} '$ estimées suivant la ligne $\mathrm {M} \mathrm {M} '\ ;$ en sorte qu’en vertu du principe que nous avons adopté, il s’établit entre ces deux molécules une action proportionnelle à la quantité $\mathrm {V} .$ Si nous multiplions cette quantité par une fonction $f(\rho )$ de la distance des molécules qui ait la propriété de diminuer avec une rapidité extrême quand $\rho$ augmente à partir de zéro, et de devenir nulle dès que $\rho$ a une valeur sensible ; l’expression $f(\rho ).V$ représentera la force qui existe entre deux molécules quelconques du fluide. Il s’agit de prendre les moments des forces semblables dans toute l’étendue de la masse. Considérant donc le fluide dans son état de mouvement, nous supposerons que l’on donne au système une impulsion par l’effet de laquelle les vitesses actuelles