Après le cas de l’homogénéité le plus simple serait celui d’une sphère composée de couches concentriques, dont chacune soit homogène. En fixant dans ce cas, l’origine des coordonnées au centre de cette sphère, et désignant par
le rayon vecteur du point qui répond à
en sorte qu’on ait
![{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c930d2f4e7522ec9b4fa9a6ff8e4bac751ae6fab)
la quantité
sera une fonction donnée de
On aura, en conséquence,
![{\displaystyle {\frac {dp}{dx}}={\frac {dp}{dr}}\,{\frac {x}{r}},\qquad {\frac {dp}{dy}}={\frac {dp}{dr}}\,{\frac {y}{r}},\qquad {\frac {dp}{dz}}={\frac {dp}{dr}}\,{\frac {z}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7d946c3405fdda4db28b7e5feb74f6720ff8ae)
et à cause de
![{\displaystyle {\frac {x}{r}}\,{\frac {d\varphi }{dx}}+{\frac {y}{r}}\,{\frac {d\varphi }{dy}}+{\frac {z}{r}}\,{\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {d\varphi }{dr}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c98adab62625911daf19772af5e310fc463af7a)
on tirera de l’équation (10) :
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=-{\frac {4\pi {\frac {dp}{dr}}}{1+4\pi p}}\,{\frac {d\varphi }{dr}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd3e50a05306fac03e57c3dda01ffbd1622c1aa)
Si donc on désigne par
le rayon vecteur du point qui répond à
la seconde équation (9) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {R} =\iiint \zeta '{\frac {d\varphi '}{dr}}{\frac {dx'dy'dz'}{\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b477025008a48772b3682e186efe007a9d215e)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {1}{1+4\pi p'}}\,{\frac {dp'}{dr'}}=\zeta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3a2f3dc860d7ccf57f7752f2b1e33972952b84)
de manière que
soit une fonction donnée de
qui sera nulle quand toutes les couches de
seront de la même nature. Conservons ensuite
pour représenter la valeur con-