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Après le cas de l’homogénéité le plus simple serait celui d’une sphère composée de couches concentriques, dont chacune soit homogène. En fixant dans ce cas, l’origine des coordonnées au centre de cette sphère, et désignant par $r$ le rayon vecteur du point qui répond à $x,y,z,$ en sorte qu’on ait

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

la quantité $p$ sera une fonction donnée de $r.$ On aura, en conséquence,

${\frac {dp}{dx}}={\frac {dp}{dr}}\,{\frac {x}{r}},\qquad {\frac {dp}{dy}}={\frac {dp}{dr}}\,{\frac {y}{r}},\qquad {\frac {dp}{dz}}={\frac {dp}{dr}}\,{\frac {z}{r}}\,;$

et à cause de

${\frac {x}{r}}\,{\frac {d\varphi }{dx}}+{\frac {y}{r}}\,{\frac {d\varphi }{dy}}+{\frac {z}{r}}\,{\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {d\varphi }{dr}},$

on tirera de l’équation (10) :

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=-{\frac {4\pi {\frac {dp}{dr}}}{1+4\pi p}}\,{\frac {d\varphi }{dr}}.$

Si donc on désigne par $r'$ le rayon vecteur du point qui répond à $x',\,y',\,z',$ la seconde équation (9) deviendra

$\mathrm {R} =\iiint \zeta '{\frac {d\varphi '}{dr}}{\frac {dx'dy'dz'}{\rho }},$

en faisant, pour abréger,

${\frac {1}{1+4\pi p'}}\,{\frac {dp'}{dr'}}=\zeta ',$

de manière que $\zeta '$ soit une fonction donnée de $r'$ qui sera nulle quand toutes les couches de $\mathrm {A}$ seront de la même nature. Conservons ensuite $p$ pour représenter la valeur con-