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et à l’instant de l’observation, et de l’orientation de l’axe de rotation de la sphère. On mettra donc cette valeur de $\mathrm {V}$ avec celle de $\mathrm {Q}$ dans l’équation (14), ou plutôt dans sa différentielle relative à $r,$ afin d’en déduire, en la résolvant ensuite, la valeur de ${\frac {d\varphi }{dr}}$ que nous aurons seulement besoin de connaître.

(20) En ayant égard aux propriétés connues des fonctions $\mathrm {P} _{i},$ on voit immédiatement que la valeur la plus générale de ${\frac {d\varphi }{dr}}$ qui puisse satisfaire à cette équation, sera de la forme :

${\frac {d\varphi }{dr}}=\mathrm {R} \cos .u+\mathrm {R} '\sin .u\sin .(nt+v)+\mathrm {R} ''\sin .u\cos .(nt+v)\,;$

$\mathrm {R,R',R''} ,$ étant des fonctions inconnues de $r$ et $t$ dont chacune n’aura qu’une seule valeur possible d’après la proposition du n^o 18.

Si l’on représente ce que ces quantités deviennent, par $\mathrm {A,A',A''} ,$ quand on fait $r=a,$ et par $\mathrm {B,B',B''} ,$ dans le cas de $r=b,$ on aura

${\begin{aligned}\alpha '&=\mathrm {A} \cos .u'+\mathrm {A} '\sin .u'\sin .(nt+v')+\mathrm {A} ''\sin .u'\cos .(nt+v'),\\{\text{ϐ}}'&=\mathrm {B} \cos .u'+\mathrm {B} '\sin .u'\sin .(nt+v')+\mathrm {B} ''\sin .u'\cos .(nt+v')\,;\end{aligned}}$

et d’après les propriétés de $\mathrm {P} _{i},$ il en résultera

$\iint \alpha '\mathrm {P} _{i}\sin .u'du'dv'=0,\qquad \iint {\text{ϐ}}'\mathrm {P} _{i}\sin .u'du'dv'=0,$

excepté dans le cas de l’indice $i=1,$ pour lequel on aura

${\begin{aligned}\iint \alpha '\mathrm {P} _{1}\sin .u'du'dv'={\frac {4\pi }{3}}\left[\mathrm {A} \cos .u\right.&+\mathrm {A} '\sin .u\sin .(nt+v)\\&\ \left.+\mathrm {A} ''\sin .u\cos .(nt+v)\right],\end{aligned}}$