pourvu que l’on quadruple le résultat de l’intégration ; faisant ensuite
![{\displaystyle \operatorname {tang} .v=z,\qquad dv={\frac {dz}{1+z^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de54ed47848533c82848fe168460e664257e3ce)
les limites relatives à la nouvelle variable seront
et
et l’on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {\omega {\sqrt {\omega ^{2}+r^{2}}}dv}{\omega ^{2}+r^{2}\sin \sin ^{2}v}}=4\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega {\sqrt {\omega ^{2}+r^{2}}}dz}{\omega ^{2}+\left(\omega ^{2}+r^{2}\right)z^{2}}}=2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a233794cc0a5668fe651cc94dc1f134bba09b2)
Dans l’hypothèse d'une épaisseur infiniment petite, nous aurons donc
![{\displaystyle \mathrm {X} =2\pi \left(\int \left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)+\left[{\frac {d\varphi }{dx}}\right]\right)\,;\qquad (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d2da9e88b9749c171bab82dc7f64c9125a16f3)
et au moyen de ce résultat, nous pourrons, dans la même supposition, résoudre l’équation
de la manière suivante.
(28) Faisant successivement, dans cette équation,
et
et les pronoms, la somme et la différence des résultats. Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)+\left[{\frac {d\varphi }{dx}}\right]=\psi t,\qquad \left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)-\left[{\frac {d\varphi }{dx}}\right]=\psi 't,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51d17a10d86249fcefec9d4b93689b6c84d41dd)
et, en outre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{t}\left(\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right)+\left[{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right]\right)f'(t-\theta )d\theta =\Psi t,\\&\int _{0}^{t}\left(\left({\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right)-\left[{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx}}\right]\right)f'(t-\theta )d\theta =\Psi 't,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc441538b2ede469fab97b0850e0891898b5ce2)
et
étant les valeurs
qui répondent à ![{\displaystyle x=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229dd3f0f42d375fa257bdc1389f92f7b225c415)