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leur de $dt$ sous le signe $\int \,;$ et l’équation précédente deviendra

${\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2\pi ^{2}}{\theta ^{2}}}(\cos .\psi -\cos .\alpha )+\left({\frac {\mu {\sqrt {2}}}{\theta }}\right)^{3}{\frac {\sin .\delta '}{n'}}\int {\sqrt {\cos .\psi -\cos .\alpha }}d\psi .$

À la fin de la première oscillation, on aura $d\psi =0$ et $\psi =-\alpha _{1}\,;$ l’intégrale devra s’étendre depuis $\psi =\alpha$ jusqu’à $\psi =-\alpha _{1}\,;$ ou depuis $\psi =\alpha$ jusqu’à $\psi =-\alpha ,$ à cause que $\alpha _{1}$ diffère peu de $\alpha$ par hypothèse ; ou bien encore depuis $\psi =0$ jusqu’à $\psi =\alpha ,$ en changeant le signe de l’intégrale et la multipliant par $2\,;$ par conséquent nous aurons

$\cos .\alpha _{1}-\cos .\alpha ={\frac {2\pi {\sqrt {2}}\sin .\delta '}{\theta n'}}\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\cos .\psi -\cos .\alpha }}d\psi .$

En résolvant cette équation par approximation, et négligeant le carré de son second membre, il vient

$\alpha _{1}=\alpha -{\frac {2\pi {\sqrt {2}}\sin .\delta '}{\theta n'\sin .\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\cos .\psi -\cos .\alpha }}d\psi .$

Il serait facile de vérifier ce résultat par l’expérience, en prenant pour a un grand angle, et plaçant l’aiguille à une assez grande distance de la plaque pour que la diminution d’amplitude, dans une seule oscillation, ne soit que d’un petit nombre de degrés, abstraction faite de celle qui est due à la résistance de l’air. En mettant successivement, dans cette formule, $\alpha _{1},\alpha _{2},$ etc., à la place de $\alpha ,$ on calculera, de proche en proche, les amplitudes des demi-oscillations ascendantes, jusqu’à ce qu’elles soient insensibles. Lorsqu’elles seront devenues très-petites, et qu’on négligera le carré et les puissances supérieures de $\alpha ,$ la formule se réduira à

$\alpha _{1}=\alpha -{\frac {2\pi \sin .\delta '}{\theta n'\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\alpha ^{2}-\psi ^{2}}}dt=\alpha -{\frac {\pi ^{2}\sin .\delta '}{2\theta n'}}\alpha \,;$

ce qui coïncide avec le résultat du n^o précédent.