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sur les canaux de navigation.

${\begin{aligned}&x'''_{_{'}}=x'_{_{'}}+u'_{_{'}}+u''_{_{'}}-u'_{_{''}}-u''_{_{''}}\\&x'''_{_{''}}=x'_{_{''}}+u'_{_{''}}+u''_{_{'''}}-u'_{_{'''}}-u''_{_{'''}}\\&x'''_{_{'''}}=x'_{_{'''}}+u''_{_{'''}}+u'''_{_{''}}-u'_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}-u''_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\\&{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Ajoutant ensemble toutes les chutes des écluses depuis la première jusqu’à la dernière, on a

${\begin{aligned}&x'''_{_{'}}+x'''_{_{''}}+x'''_{_{'''}}+x'''_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+,{\text{etc}}.+x'''_{(n)}=\\&x'_{_{'}}+u'_{_{'}}+u''_{_{'}}+x'_{_{''}}+x'_{_{'''}}+,{\text{etc}}.x'_{(n)}-u'_{(n+1)}-u''_{(n+1)}.\end{aligned}}$

Et attendu que le dernier bief $\mathrm {B} _{(n)}$ du canal est la rivière dans laquelle il se termine, et que l’on peut regarder ce bief comme un réservoir indéfini dont le niveau ne varie point, quel que soit le nombre de bateaux qui y arrivent, on a $u'_{(n+1)}=0,\,u'_{(n+1)}=0,$ etc., et par conséquent, après le trajet d’un nombre quelconque $(\mathrm {N} )$ de bateaux :

${\overset {(\mathrm {N} )\quad }{\quad x_{_{'}}}}{\overset {\mathrm {(N)} }{+}}x_{_{''}}{\overset {\mathrm {(N)} }{+}}x_{_{'''}}{\overset {\mathrm {(N)} }{+}}x_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+\ldots {\text{etc}}.{\overset {\mathrm {(N)} }{+}}x_{(n)}=$

$x'_{_{'}}+x'_{_{''}}+x'_{_{'''}}+x'_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+\ldots x_{(n)}+u'_{_{'}}+u''_{_{'}}+u'''_{_{'}}+u_{_{'}}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\ldots {\overset {(\mathrm {N} )}{+}}u_{_{'}}\,;$

d’où l’on voit qu’après le passage d’un nombre quelconque $(\mathrm {N} )$ de bateaux dans le canal, la somme des chutes primitives des écluses $x'_{_{'}}+x'_{_{''}}+x'_{_{'''}}+x'_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},$ etc. n’est augmentée que de la hauteur d’eau $u'_{_{'}}+u''_{_{'}}+u'''_{_{'}}+$ etc., dont le bief culminant s’est élevé.

(22) Ce que nous venons de dire du réservoir inférieur indéfini dans lequel le canal se termine, s’applique à tout autre bief intermédiaire dont, par l’influence d’un ruisseau