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sur la double réfraction.

donc se trouver à la fois dans le plan sécant $\mathrm {Z} =\mathrm {A} x+\mathrm {B} y,$ sur la surface de la sphère et sur la surface d’élasticité. La combinaison des équations de ces deux surfaces donne

$r^{4}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}\,:$

en substituant dans cette relation la valeur de $z$ tirée de l’équation du plan sécant, on a,

$x^{2}\left(a^{2}+\mathrm {A} ^{2}c^{2}\right)+y^{2}\left(b^{2}+\mathrm {B} ^{2}c^{2}\right)+2\mathrm {AB} c^{2}xy=r^{4}$

(1).

En substituant cette valeur de $z$ dans l’équation de la sphère, on trouve pour la projection de la même courbe sur le même plan des $xy,$

$x^{2}\left(1+\mathrm {A} ^{2}\right)+y^{2}\left(1+\mathrm {B} ^{2}\right)+2\mathrm {AB} xy=r^{2}(2).$

(2).

Les deux équations (1) et (2) devant être identiques, on a :

$\mathrm {\frac {1+B^{2}}{1+A^{2}}} ={\frac {b^{2}+\mathrm {B} ^{2}c^{2}}{a^{2}+\mathrm {A} ^{2}c^{2}}}\,;\quad \mathrm {\frac {2AB}{1+A^{2}}} ={\frac {2\mathrm {AB} c^{2}}{a^{2}+\mathrm {A} ^{2}c^{2}}}\,;\quad {\frac {r^{2}}{1+\mathrm {A} ^{2}}}={\frac {r^{4}}{a^{2}+\mathrm {A} ^{2}c^{2}}}.$

La seconde condition ne peut être satisfaite que par $\mathrm {A} =0,$ ou $\mathrm {B} =0,$ puisque sans cela il faudrait faire $c^{2}+\mathrm {A} ^{2}c^{2}=a^{2}+\mathrm {A} ^{2}c^{2},$ ou, $a^{2}=c^{2},$ quantités constantes dont on ne peut pas disposer. Si l’on suppose $\mathrm {A} =0,$ on tire de la première équation de condition, $\mathrm {B} =\pm {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}}},$ quantité imaginaire si c’est $b$ qui est l’axe moyen, puisque alors les deux termes de la fraction placée sous le radical sont de signes contraires. Ainsi, en supposant $a>b$ et $b>c,$ il faut faire $\mathrm {B} =0,$ d’où l’on conclut pour $\mathrm {A}$ la valeur réelle $\mathrm {A} =\pm {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}}},$ $\mathrm {B} =0$ indique que le plan sécant doit passer par l’axe des $y$ ou l’axe moyen de la surface d’élasticité ;