Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 7.djvu/364

134

mémoire

${\frac {vdv}{dn}}\left[\left(1+n^{2}\right)\left(a^{2}-v^{2}\right)+\left(1+m^{2}\right)\left(b^{2}-v^{2}\right)+\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(c^{2}-v^{2}\right)\right]$

$-\left(a^{2}-v^{2}\right)\left(c^{2}-v^{2}\right)n=0\ldots \ldots (\mathrm {A} _{1}).$

Maintenant si l’on élimine ${\frac {vdv}{dm}}$ entre les deux équations $(\mathrm {A} ')$ et $(\mathrm {B} '),$ et entre les équations $(\mathrm {A} _{1})$ et $(\mathrm {B} _{1}),$ on aura deux nouvelles équations qui ne renfermeront plus que les trois quantités variables $v,m$ et $n,$ en sus des coordonnées rectangulaires $x,y,z\,;$ et en les réunissant aux équations $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ on aura quatre équations entre lesquelles on pourra éliminer $v,m$ et $n.$ La relation obtenue par cette éliminanation entre les coordonnées $x,y,z,$ sera l’équation générale des ondes, et appartiendra à la fois à la surface de l’onde ordinaire et à celle de l’onde extraordinaire.

Autre manière de calculer la surface des ondes.

Cette marche directe semble devoir entraîner dans des calculs d’une longueur rebutante, à cause du nombre des quantités qu’il s’agit d’éliminer et du degré des équations. On peut, à la vérité, éliminer $v^{2}$ entre les équations $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ avant de les différentier, ce qui donne une équation du quatrième degré en $m$ et $n.$ On arrive à une équation plus simple et du troisième degré seulement en suivant une autre marche. On obtient aisément une équation du premier degré en $v^{2},$ en faisant varier le plan sécant et par suite le plan tangent qui lui est parallèle, de manière que $dv$ soit nul ; alors l’intersection commune des deux positions successives du plan tangent est la tangente qui passe par le pied de la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur le