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sur la double réfraction.

après plusieurs réductions à l’équation,

$t^{2}-t\left[f+h-(f-h)\cos .n\cos .m\right]+fh+{\frac {1}{4}}\left(\cos .^{2}n+\cos .^{2}m\right)(f-h)^{2}-$

${\frac {1}{2}}\cos .n\cos .m\left(f^{2}-h^{2}\right)=0\,;$

d’où l’on tire

$t={\frac {1}{2}}(f+h)-{\frac {1}{2}}(f-h)\cos .n\cos .m$

$\pm {\frac {1}{2}}(f-h){\sqrt {1+\cos .^{2}n\cos .^{2}m-\cos .^{2}n-\cos .^{2}m}},$

ou

$t={\frac {1}{2}}(f+h)-{\frac {1}{2}}(f-h)\cos .n\cos .m\pm {\frac {1}{2}}(f-h)\sin .n.\sin .m\,;\qquad$^[1]

donc la différence entre les deux valeurs de $t,$ ou la quantité cherchée, est égale à

$(f-h)\sin .n.\sin .m\,;$

par conséquent cette différence est proportionnelle au produit des sinus des deux angles $m$ et $n\,;$ ce qu’il fallait démontrer.

Les angles dont il s’agit sont ceux que la direction commune des rayons ordinaire et extraordinaire fait avec les deux diamètres de l’ellipsoïde perpendiculaires aux sections circulaires, diamètres que nous avons appelés axes optiques, en admettant qu’on devait donner ce nom aux deux directions suivant lesquelles les rayons lumineux traversent le

1. Les deux valeurs de $t,$ qui donnent les quotients de l’unité divisée successivement par les carrés des vitesses du rayon ordinaire et du rayon extraordinaire, peuvent être mises sous la forme suivante :
   $t={\frac {1}{2}}(f+h)-{\frac {1}{2}}(f-h)\cos .(m+n),$

   et

   $t={\frac {1}{2}}(f+h)-{\frac {1}{2}}(f-h)\cos .(m-n).$