Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 7.djvu/467

seconds termes des formules (9) seront du deuxième ordre par rapport à $f$ et $f',$ et, comnme tels, devront être négligés. On ne conservera donc que les premiers qui dépendront de la partie de $\Omega$ dépendante du carré de $e.$

Pour l’obtenir, prenons le plan de l’écliptique à une époque déterminée pour celui des $x,y,$ sur lequel on compte l’angle $\psi \,;$ ce qui permettra de supprimer l’ordonnée $z,$ dans les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Si nous négligeons, en outre, l’excentricité de l’orbite solaire, et que nous représentions par $v$ la longitude du soleil, comptée de la même origine que $\psi ,$ mais en sens contraire de cet angle, nous aurons

$\delta =\rho ,\qquad x=\rho \cos .v,\qquad y=r\sin .v,\qquad z=0\,;$

d’où il résultera (n^o 15)

${\begin{aligned}\alpha &=\rho \left[\sin .(v+\psi )\cos .\theta \sin .\varphi +\cos .(v+\psi )\cos .\varphi \right],\\\beta &=\rho [\sin .(v+\psi )\cos .\theta \cos .\varphi -\cos .(v+\psi )\sin .\varphi ],\\\gamma &=\rho \sin .(v+\psi )\sin .\theta \,;\end{aligned}}$

formules dans lesquelles $v+\psi$ sera la longitude du soleil, comptée du noend descendant de l’équateur. En rejetant les termes dépendants de cet angle, on aura simplement

${\begin{aligned}\alpha ^{2}&={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\left(\cos .^{2}\theta \cos .^{2}\varphi +\sin .^{2}\varphi \right),\\\beta ^{2}&={\frac {1}{2}}\rho ^{2}\left(\cos .^{2}\theta \sin .^{2}\varphi +\cos .^{2}\varphi \right)\,;\end{aligned}}$

et les puissances impaires de $\gamma$ qui entrent dans la formule (13) seront égales à zéro.

Je substitue dans $\alpha ^{2}$ pour $\theta$ et $\varphi$ leurs valeurs ; je néglige les puissances de $e$ supérieures au carré, ainsi que les termes dépendants de l’angle $ab(nt+c),$ ce qui fera disparaître les premières puissances de $k$ et $k'\,;$ de cette manière, il vient