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partir de la même ligne fixe que $\psi ,$ mais en sens contraire, de sorte que $v'+\psi ,$ $l'+\psi ,$ $\pi '+\psi$ soient les longitudes comptées, à l’ordinaire, dans le sens de la rotation et à partir du nœud descendant de l’équateur. Représentons par $\lambda '$ l’inclinaison de l’orbite lunaire sur le plan fixe, et par $e'$ son excentricité. Faisons, pour un moment,

$\left[1+\operatorname {tang} .^{2}\lambda '\sin .^{2}(v'-l')\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\mathrm {U} \,;$

nous aurons, sans rien négliger,

$x'=\mathrm {U} \delta '\cos .v',\qquad y'=\mathrm {U} \delta '\sin .v',\qquad z'=\mathrm {U} \delta '\operatorname {tang} .\lambda '\sin .(v'-l'),$

et par conséquent

$\alpha '=\mathrm {U} \delta '\left[\cos .\theta \sin .(v'+\psi )\sin .\varphi +\cos .(v'+\psi )\cos .\varphi \right.$

$\left.-\sin .\theta \operatorname {tang} .\lambda '\sin .(v'-l')\sin .\varphi \right].$

Si l’on supprime les termes qui contiendraient $\sin .2\varphi$ ou $\cos .2\varphi ,$ on en déduira

$\alpha '^{2}={\frac {1}{4}}\mathrm {U} ^{2}\delta '^{2}{\Big \{}1+\cos .^{2}\theta +\sin .^{2}\theta \cos .2(v'+\psi ){\Big .}$

$+\sin .^{2}\theta \operatorname {tang} .\lambda '\left[1-\cos .2(v'-l')\right]$

${\Big .}-2\sin .\theta \cos .\theta \operatorname {tang} .\lambda '\left[\cos .(\psi +l')-\cos .(2v'+\psi -l')\right]{\Big \}}.$

Par les formules du mouvement elliptique, on a

${\frac {\delta '}{\rho '}}=1+{\frac {1}{2}}e'^{2}-e'\cos .(m't+\varepsilon '-\pi ')-{\frac {1}{2}}e'^{2}\cos .2(m't+\varepsilon '-\pi '),$

$v'=m't+\varepsilon '+2e'\sin .(m't+\varepsilon '-\pi ')+{\frac {5}{4}}e'^{2}\sin .2(m't+\varepsilon '-\pi ')$

$-{\frac {1}{4}}\lambda '^{2}\sin .2(m't+\varepsilon '-l'),$

en désignant par $m't+\varepsilon '$ la longitude moyenne de la lune, et négligeant les termes du troisième ordre par rapport à $\lambda '$ et $e'.$ Au même degré d’approximation, et d’après ces valeurs