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Pour effectuer l’intégration, on remarquera que $\int _{0}^{2\pi }d\varphi \cos .^{4}\varphi ={\frac {3\pi }{4}},$ $\int _{0}^{2\pi }d\varphi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi ={\frac {\pi }{4}},$ $\int _{0}^{2\pi }d\varphi \cos .^{2}\varphi =\pi .$ Ainsi en intégrant d’abord par rapport à $\varphi ,$ il viendra

$\int _{0}^{\infty }d\rho \int _{-{\frac {1}{2}}\pi }^{{\frac {1}{2}}\pi }d\psi .\rho ^{4}f_{\rho }\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}{\frac {3\pi }{4}}{\frac {d^{2}x}{da^{2}}}\cos .^{5}\psi +{\frac {\pi }{4}}{\frac {d^{2}y}{dadb}}\cos .^{5}\psi \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\pi {\frac {d^{2}z}{dadc}}\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi \\&{\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{4}}{\frac {d^{2}x}{db^{2}}}\cos .^{5}\psi \\&{\frac {1}{2}}\pi {\frac {d^{2}x}{dc^{2}}}\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi \end{aligned}}\right\}$

On remarquera ensuite que $\int _{-{\frac {1}{2}}\pi }^{{\frac {1}{2}}\pi }d\psi .\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi ={\frac {4}{15}},$ $\int _{-{\frac {1}{2}}\pi }^{{\frac {1}{2}}\pi }d\psi .\cos .^{5}\psi ={\frac {4.4}{15}}\,;$ en sorte que l’intégration par rapport à $\psi$ donnera

$\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{4}f_{\rho }.{\frac {\pi }{4}}{\frac {4.4}{15}}\left({\frac {3}{2}}{\frac {d^{2}x}{da^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{db^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{dc^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dadb}}+{\frac {d^{2}z}{dadc}}\right).$

Si donc on fait pour abréger

$\int _{0}^{\infty }d\rho .\rho ^{4}f_{\rho }.{\frac {\pi }{4}}{\frac {4.4}{15}}.{\frac {1}{2}}=\varepsilon ,$

$\varepsilon$ étant une constante inconnue qui dépend de l’intensité de la force d’élasticité du corps, on aura, pour exprimer l’équilibre des forces qui sollicitent le point $\mathrm {M}$ parallèlement à l’axe des $a,$ l’équation

$-\mathrm {X} =\varepsilon \left(3{\frac {d^{2}x}{da^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{db^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{dc^{2}}}+2{\frac {d^{2}y}{dadb}}+2{\frac {d^{2}z}{dadc}}\right).$