et les limites des racines. La première est exposée avec beaucoup de détails dans l’ouvrage cité ; la seconde est fondée sur la proposition suivante.
On peut omettre dans tous les cas l’emploi de l’équation aux différences, et procéder immédiatement au calcul des fractions continues qui doivent exprimer les valeurs des racines ; il suffit d’établir ce calcul de la même manière que si l’on était assuré que toutes les racines sont réelles. On détermine sur-le-champ, et par l’application d’un théorème général, combien on doit chercher de racines dans chaque intervalle donné ; or on distinguera par le résultat même de l’opération celles de ces racines qui sont réelles. Quant au nombre des racines imaginaires, il est précisément égal au nombre des variations de signes qui disparaissent dans les équations successives. Le Mémoire contient la démonstration de cette dernière proposition ; il en résulte une méthode très-simple pour distinguer avec certitude les racines imaginaires, et pour assigner deux limites entre lesquelles chacune des racines réelles est seule comprise.
Le second article du mémoire concerne les équations que l’on appelées transcendantes. Je démontre que les théorèmes généraux d’analyse algébrique s’appliquent aux équations de ce genre que présentent la théorie de la chaleur on d’autres questions naturelles. Le principe sur lequel cette application est fondée consiste en ce que, dans toute équation algébrique ou transcendante formée d’un nombre fini ou infini de facteurs, parmi lesquels il se trouve un ou plusieurs facteurs du second degré ayant deux racines imaginaires, chacun de ces derniers facteurs correspond à une certaine valeur réelle qui indique deux racines imaginaires, parce qu’elle fait disparaître deux variations de signes à la fois ; et l’on prouve que si l’équation
