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duite s’accorde avec le théorème général que l’on vient de démontrer. On peut aussi considérer le cas plus général où la chaleur du solide se dissipe à travers la surface dans un milieu dont la température est constante. On attribuera au coefficient qui mesure la conducibilité extérieure une valeur déterminée $\mathrm {H} ,$ et l’on aura pour exprimer les températures variables du solide l’équation suivante :

(1)

$v=2\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\sin .(n_{i}x)}{x}}\,{\frac {e^{-{\frac {k}{cd}}n_{i}^{2}t}}{\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{i}}}\sin .(2n_{i}\mathrm {X} )}}\int _{0}^{\mathrm {X} }d\alpha .\alpha \operatorname {\mathrm {F} } \alpha .\sin .(n_{i}\alpha ),$

la valeur de $n_{i}$ est une racine de l’équation déterminée

(2)

${\frac {n_{i}\mathrm {X} }{\operatorname {tang} .(n_{i}\mathrm {X} )}}=1-{\frac {\mathrm {H} }{k}}\mathrm {X} .$

Les quantités $x,\,v,\,t,\,k,\,c,\,d,$ ont la même signification que dans l’article précédent. Le coefficient $\mathrm {H}$ exprime la conducibilité de la surface relative au milieu dont la température constante est zéro. La fonction $\operatorname {F} \alpha$ représente, comme nous l’avons dit, le système des températures initiales. L’équation (2) donne pour la valeur de $n_{i},$ une infinité de racines, et nous avons démontré plusieurs fois, soit par le calcul, soit par des considérations propres à la théorie de la à la théorie de la chaleur, que toutes ces racines sont réelles ; la température variable $v$ est le double de la somme de tous les termes dont la valeur est indiquée.

Supposons maintenant que l’on compare les mouvements de la chaleur dans deux sphères différentes, dont l’une a pour rayon $x$ et l’autre a pour rayon $x'$ égale à $mx.$ Si la chaleur initiale est tellement distribuée dans ces deux corps, que la température commune aux points d’une surface sphérique