Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/355

MÉMOIRE

sur

DIVERS POINTS D'ANALYSE.

§ i^er. Détermination approximative de l'intégrale

(1)

$\mathbf {S} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}u^{n}vdx,$

$u$ et $v$ désignant deux fonctions réelles ou imaginaires de la variable $x,$ et $n$ un nombre très-considérable.

Soit $\mathrm {X}$ une valeur particulière de $x\,;$ $\mathrm {U,\,V,\,U',\,V',\,U'',\,V''} ,\ldots$ les valeurs correspondantes de $u,\,v,\,u',\,v',\,u'',\,v'',\ldots$ et cherchons la partie de l'intégrale $\mathbf {S}$ comprise entre les limites très-voisines

(2)

$x=\mathrm {X} -{\frac {a}{\sqrt {n}}},\quad x=\mathrm {X} +{\frac {a}{\sqrt {n}}}.$

On aura, entre ces limites,

(3)

$u=\mathrm {U} +{\frac {\mathrm {U} '}{1}}(x-\mathrm {X} )+{\frac {\mathrm {U} ''}{1.2}}(x-\mathrm {X} )^{2}+{\text{etc}}.,$

puis, en posant

(4)

$x=\mathrm {X} +{\frac {t}{\sqrt {n}}},$

on trouvera