Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/652

se faire équilibre quoiqu’elles ne soient pas appliquées en un même point.

(13) Soit donc en général $\Pi ,\Pi ',\Pi '',$ etc., des forces qui agissent à différents points de l’intérieur ou de la surface d’un corps. Après qu’il aura changé de forme, et sera parvenu à l’état d’équilibre, soit $\mathrm {M}$ un de ces points, auquel est appliquée la force $\Pi \,;$ $r$ sa distance à un autre point $\mathrm {M} '\,;$ $fr$ leur action mutuelle ; $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ les angles que la direction de $r$ fait avec trois axes rectangulaires ; $a,b,c,$ ceux que fait la direction de $\Pi$ avec les mêmes axes ; il faudra, pour l’équilibre du point $\mathrm {M} ,$ qu’on ait ces trois équations :

${\begin{alignedat}{2}\Pi \cos .a&+\sum fr\cos .\alpha &&=0,\\\Pi \cos .b&+\sum fr\cos .\beta &&=0,\\\Pi \cos .c&+\sum fr\cos .\gamma &&=0\,;\end{alignedat}}$

les sommes $\sum$ s’étendant à tous les points $\mathrm {M} '$ compris dans la sphère d’activité de $\mathrm {M} .$ Transportons le point $\mathrm {M}$ dans une position infiniment voi\sine ; désignons par $q,q',q'',$ les projections de l’espace qu’il aura parcouru, sur les axes auxquels répondent les angles $a,b,c,$ ou $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ soit aussi $p$ la projection du même espace sur la direction de la force $\Pi ,$ et $\delta _{1}r$ sa projection sur la direction primitive de $r\,;$ nous aurons

${\begin{aligned}&p=q\cos .b+q'\cos .b+q''\cos .c,\\&\delta _{1}r=q\cos .\alpha +q'\cos .\beta +q''\cos .\gamma \,;\end{aligned}}$

et les équations précédentes donneront

$\Pi p+\sum fr\delta _{1}r=0.$

La quantité $\delta _{1}r$ exprime l’accroissement de la distance $\mathrm {MM} ',$ quand le point $\mathrm {M}$ se déplace et que le point $\mathrm {M} '$ reste fixe ;