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${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\eta }}&=2{\frac {d^{4}y}{dx^{2}dt^{2}}},\\{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\zeta }}&=2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dt^{2}}}\,;\end{aligned}}$

ce qui changera les équations (12) en celles-ci :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&-{\frac {5k\varepsilon ^{2}}{8\rho }}{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {d^{4}y}{dx^{2}dt^{2}}},\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&-{\frac {5k\varepsilon ^{2}}{8\rho }}{\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dt^{2}}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ dans les seconds membres de ces deux équations, on voit que leurs seconds termes auront $\varepsilon ^{4}$ pour facteur, et pourront en conséquence être négligés ; on aura donc enfin

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+b^{2}{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+b^{2}{\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}=0,\quad$(13)

en faisant, pour abréger,

${\frac {5k\varepsilon ^{2}}{8\rho }}=b^{2}.$

Soit qu’il y ait équilibre ou qu’il y ait mouvement, ces équations (12) et (13), communes à tous les points de l’axe de la verge, feront connaître les valeurs des deux inconnues $y$ et $z,$ après qu’on y aura joint celles qui ont lieu en particulier à ses extrémités, et que nous formerons tout à l’heure.

(42) Dans l’état naturel de la verge, on a

$r={\sqrt {\eta ^{2}+\zeta ^{2}}},\qquad \theta =arc\left(\operatorname {tang} .={\frac {\zeta }{\eta }}\right)\,;$

si donc, après son changement de forme, on désigne, comme