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$\left.{\begin{aligned}\alpha \;&=-{\frac {pq}{h{\sqrt {1+p^{2}}}}},\qquad \beta ={\frac {\sqrt {1+p^{2}}}{h}},\qquad \gamma ={\frac {q}{h{\sqrt {1+p^{2}}}}},\\\alpha '&={\frac {\sqrt {1+q^{2}}}{h}},\qquad \beta '=-{\frac {qp}{h{\sqrt {1+q^{2}}}}},\qquad \gamma '={\frac {p}{h{\sqrt {1+q^{2}}}}}.\end{aligned}}\right\}$(3)

On les substituera dans les équations (2), où l’on mettra aussi pour $\mathrm {P_{1},Q_{1},R_{1}} ,$ leurs valeurs données par les formules (1). D’ailleurs, en faisant $\mathrm {K} =0$ dans les formules du n^o 7, on a

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&=-k\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right),\\\mathrm {P} _{3}&=-k\left(3{\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right),\\\mathrm {Q} _{2}&=-k\left({\frac {du}{dx}}+3{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right),\\\mathrm {R} _{1}&=-k\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+3{\frac {dw}{dz}}\right).\end{aligned}}$

Après avoir substitué ces expressions dans la troisième équation (1), on en déduira immédiatement la valeur des ${\frac {dw}{dz}}\,;$ au moyen de laquelle les trois quantités $\mathrm {P_{2},P_{3},Q_{2}} ,$ ; dz qui resteront dans les équations (2), ne dépendront plus que des deux inconnues $u$ et $v,$ dont elles renfermeront seulement les différences partielles relatives à $x$ et $y.$ De cette manière, ces trois équations seront aux différences partielles du second ordre, entre les trois inconnues $u,v,z\,;$ et la solution complète et générale du problème relatif à une membrane flexible en équilibre, consisterait à les intégrer, puis à déterminer les fonctions arbitraires au moyen des équations particulières qui appartiennent au contour de la membrane. Mais ces calculs seraient impraticables et n’auraient aucune application utile ; c’est pourquoi nous nous bornerons à consi-