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de cette formule, devenant infini quand $r=0,$ est étranger à la question, et doit être supprimé. Soit de plus

$f(ct)=\sum (\mathrm {A} \cos .m\,ct+\mathrm {B} \sin .m\,ct)\,;$

$\mathrm {A,B} ,m,$ étant des quantités indépendantes de la variable $ct,$ et la somme $\sum$ s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires. En observant qu’on a

$\int _{0}^{\pi }\sin .(m\,r\cos .\omega )d\omega =0,$

la formule précédente deviendra

$z=\sum (\mathrm {A} \cos .m\,ct+\mathrm {B} \sin .m\,ct)\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega .\qquad (f)$

Si l’on représente par $l$ le rayon de la membrane, il faudra qu’on ait $r=0$ pour $r=l\,;$ et cette condition devant être remplie pour toutes les valeurs de $t,$ il en résultera

$\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )d\omega =0\,;\qquad (g)$

équation qui servira à déterminer les valeurs de $m.$ D’après l’état initial de la membrane, on formera les valeurs des coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ en fonctions de $m,$ par la même analyse que dans le n^o 57, et l’on prouvera, en même temps, que l’équation $(g)$ n’a que des racines réelles. Cela fait, la formule $(f)$ renfermera la solution complète de la question qui nous occupe, et il ne s’agit plus que d’en déduire les conséquences relatives aux sons de la membrane.

(64) Les racines de l’équation $(g)$ étant incommensurables,