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d’être distinguées à raison du fréquent usage dont elles sont susceptibles. Ces trois formules sont :

1^o Celle-ci

$fx={\frac {1}{2l}}\int _{0}^{l}fx'dx'+{\frac {1}{l}}\sum \left[\int _{-l}^{l}\cos .{\frac {n\pi (x-x')}{l}}fx'dx'\right],\qquad$(1)

dans laquelle la fonction arbitraire $fx$ est représentée depuis $x=-l$ jusqu’à $x=+l,$ par une série de sinus et de cosinus des multiples de la variable : $l$ est une constante donnée, $\pi$ le rapport de la circonférence au diamètre, $n$ un nombre entier et positif, et $\sum$ indique une somme relative à toutes les valeurs de ce nombre, depuis $n=1$ jusqu’à $n=\infty .$ Au moyen de l’intégration par partie, on peut changer la quantité contenue sous le signe $\sum ,$ en ${\frac {l}{n\pi }}\int \sin .n\pi (x-x')dfx'\,;$ et à cause du dénomination $n,$ on voit que les termes de la série diminueront continuellement.

2^o La formule :

$fx={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\cos .\alpha (x-x')fx'dx'\right]d\alpha ,\qquad$(2)

qui subsiste pour toutes les valeurs réelles, positives ou négatives de $x,$ et que M. Fourier a donnée le premier, du moins pour les deux cas de $fx=f(-x)$ et $fx=-f(-x),$ dont il était facile de déduire le cas général. Cette formule se conclut de la précédente en y faisant $l=\infty ,$ ${\frac {n\pi }{l}}=\alpha ,$ ${\frac {\pi }{l}}=d\alpha ,$ et changeant la somme $\sum$ en une intégrale. Elles s’étendent