Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/852

on a

$-{\frac {2}{\varpi }}f0\sum {\frac {\sin .ix}{i}}\cos .i\varpi +{\frac {2c}{\varpi }}\sum {\frac {\sin .ix}{i}}\cos .i\varpi =0\,;$

par conséquent la coustante $c$ est égale à $f0,$ donc l’expression cherchée de $v$ est

(11)

$v={\frac {x}{\varpi }}ft+{\frac {2}{\varpi }}\sum {\frac {\sin .ix}{i}}\cos .i\varpi e^{-i^{2}t}\left\{f0+\int _{0}^{t}dre^{i^{2}r}f'r\right\}.$

On parvient ainsi à résoudre la seconde question que nous avons énoncée ; quant à la troisième elle se rapporte à la seconde puisque les températures respectives des extrémités $o$ et $\varpi$ sont, pour la seconde, zéro et $ft,$ et pour la troisième, $\varphi t$ et $0.$ La solution de cette troisième question est exprimée comme il suit :

(12)

$v={\frac {\varpi -x}{\varpi }}\varphi t-{\frac {2}{\varpi }}\sum {\frac {\sin .ix}{i}}e^{-i^{2}t}\left\{\varphi 0+\int _{0}^{t}dre^{i^{2}r}\varphi 'r\right\},$

formule qui dérive aussi de la précédente (11) en substituant $\varpi -x$ au lieu de $x.$

Si l’on réunit les trois résultats précédents, on trouve pour solution générale la formule donnée l’équation (1). La première ligne se rapporte à la seconde question, la seconde ligne à la troisième question, et la troisième ligne à la première question.

Quoique l’on puisse en effet parvenir à la solution, en déterminant comme on vient de le faire la fonction inconnue $\alpha _{i}$ sous le signe $\sum ,$ on peut dire que ce procédé n’éclaire point assez la question, en ce que l’on ne voit pas d’abord qu’il doit nécessairement conduire à la solution. Il ne sera point