La seconde partie du tome II traite de ces deux sortes d’intégrales définies dont Euler s’est beaucoup occupé dans plusieurs de ses ouvrages, et qui conserveront le nom d’Eulériennes.
L’auteur, qui avait traité ce sujet dans ses Exercices du calcul intégral, les reproduit sous une forme plus simple à quelques égards : il y a joint, à raison de l’analyse du sujet, les résultats contenus dans d’autres parties du même ouvrage, sur une sorte d’intégrales qu’on peut rapporter aux intégrales eulériennes indéfinies de la seconde espèce, et qui se calculent par différentes méthodes, suivant les limites dans lesquelles ces intégrales doivent être prises. C’est ce genre de transcendantes qui a offert à l’auteur le moyen de trouver l’intégrale complète d’une équation différentielle analogue à l’équation de Riccati, mais beaucoup plus générale.
Enfin, pour que ce nouvel ouvrage devînt un traité pour ainsi dire complet des transcendantes les plus connues ou les plus utiles après les arcs de cercle et les logarithmes, l’auteur a cru devoir terminer le second volume par le chapitre de son précédent ouvrage, qui traite du développement de la fonction étant un exposant fractionnaire. On sait que les coefficients de cette fonction sont des transcendantes qui ont en général beaucoup d’analogie avec les fonctions elliptiques de la première et de la seconde espèce.
Rien n’a été négligé pour que cet ouvrage devînt utile dans différents genres de recherches, soit par les nombreuses formules qu’il contient, soit par les tables dont il offre un recueil aussi varié qu’étendu.
On ne trouverait dans aucun autre ouvrage des calculs numériques dirigés par des formules aussi propres à abréger
