Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/274

D’après cela, on aura

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\left(\eta +s'{\frac {d\zeta }{d\eta }}\right){\frac {1}{r_{1}}},\\\beta _{1}&=\left(\eta '+s'{\frac {d\zeta }{d\eta }}\right){\frac {1}{r_{1}}},\\\gamma _{1}&=-(s+s'-\zeta ){\frac {1}{r_{1}}}\,;\end{aligned}}$

et la distance $r_{1},$ sera donnée par l’équation :

$r_{1}^{2}=\left(\eta +s'{\frac {d\zeta }{d\eta }}\right)^{2}+\left(\eta '+s'{\frac {d\zeta }{d\eta }}\right)^{2}+(s+s'-\zeta )^{2}.$

On a identiquement

$2\zeta =\eta {\frac {d\zeta }{d\eta }}+\eta '{\frac {d\zeta }{d\eta '}}\,;$

au degré d’approximation où nous nous arrêtons, on aura donc

${\begin{aligned}r_{1}^{2}&=\eta ^{2}+\eta '^{2}+(s+s')^{2}-2(s-s')\zeta ,\\r_{1}&=r-{\frac {(s-s')\zeta }{r}},\\\mathrm {R} _{1}&=\mathrm {R} -{\frac {(s-s')\zeta }{r}}{\frac {d\mathrm {R} }{dr}},\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

$r^{2}=\eta ^{2}+\eta '^{2}+(s+s')^{2},$

et appelant $\mathrm {R}$ ce que devient $\mathrm {R} _{1}$ quand on y met $r$ au lieu $r_{1}.$ On substituera cette valeur de $r_{1}$ dans celles de $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ et celles-ci, avec la valeur de $\mathrm {R} _{1},$ dans les équations (1).

Les sommes $\sum$ s’étendront à toutes les valeurs positives de $s$ et $s',$ et à toutes les valeurs positives ou négatives de $\eta$ et $\eta '.$ Dans l’étendue de ces sommations, on devra avoir égard à