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de la formule (1),

(5)

$\operatorname {F} (x,y,z,\ldots )=$

$\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{(x-u)\alpha {\sqrt {-1}}}e^{(y-v)\beta {\sqrt {-1}}}\ldots {\sqrt {\mathrm {L} ^{2}}}.\operatorname {F} (u,v,\ldots )d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots$

$\left\{{\begin{alignedat}{4}\alpha =&-\infty ,\quad &\beta =&-\infty ,\ldots &\mu =&\mu ',\quad &\nu =&\nu '\ldots \\\alpha =&+\infty ,\quad &\beta =&+\infty ,\ldots &\mu =&\mu '',\quad &\nu =&\nu ''\ldots \end{alignedat}}\right\}.$

Dans cette dernière formule, la fonction $\operatorname {F} (u,v,\ldots )$ remplace la fonction $f(\mu ,\nu ,\varpi \ldots ),$ $\mu ',\mu ''\ldots \nu ',\nu ''\ldots ,$ sont choisies de manière que les valeurs correspondantes de $u,v\ldots$ puissent être considérées comme des limites inférieures et supérieures des valeurs attribuées aux variables $x,y,z\ldots$ et $\mathrm {L}$ désigne le dénominateur commun des valeurs de $p,q,r\ldots ,$ tirées des équations

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}p{\frac {du}{d\mu }}&+q{\frac {du}{d\nu }}&&+r{\frac {du}{d\varpi }}&&+\ldots &&=0,\\p{\frac {dv}{d\mu }}&+q{\frac {dv}{d\nu }}&&+r{\frac {dv}{d\varpi }}&&+\ldots &&=0,\\{\text{etc}}.&\ldots \end{alignedat}}\right.$

Ajoutons que, dans des formules (1) et (5) on pourrait, au lieu de $\alpha {\sqrt {-1}},\beta {\sqrt {-1}},$ écrire partout $a+\alpha {\sqrt {-1}},\,b+\beta {\sqrt {-1}}\ldots ,$ $a,b$ désignant des constantes choisies arbitrairement.

Concevons maintenant que,

$\mathrm {K,\,X,\,Y,\ldots T}$

étant des fonctions quelconques des variables $x,\,y,\,z\ldots t,$ il s’agisse d’intégrer l’équation aux différences partielles,

(7)

$\mathrm {K} \varphi +\mathrm {X} {\frac {d\varphi }{dx}}+\mathrm {Y} {\frac {d\varphi }{dy}}+\ldots +\mathrm {T} {\frac {d\varphi }{dt}}=f(x,y,z\ldots t),$