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$\cos .\sigma '={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda }}={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .(\lambda _{0}-u')}}\,;$

on trouvera, en appelant $\sigma '_{0}$ ce que devient $\sigma '$ lorsque $u'$ ou $\sigma =0,$ et procédant comme ci-dessus,

$\sigma '=\sigma '_{0}-u'\cot .\sigma '_{0}\cot .\lambda _{0}=\sigma '_{0}-\mathrm {M} \sigma \cot .\sigma '_{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} ,$

pareillement

$\sigma ''=\sigma ''_{0}-u'\cot .\sigma ''_{0}\cot .\lambda _{0}=\sigma ''_{0}-\mathrm {M} \sigma \cot .\sigma ''_{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} \,;$

par suite

$\sigma ''-\sigma '=\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}+\mathrm {M} \sigma \cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} {\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\sin .\sigma ''_{0}\sin .\sigma '_{0}}}.$

Il ne reste plus qu’à substituer dans (2) pour $\cos .\lambda$ et $\sigma ''-\sigma '$ les valeurs qu’on vient de trouver, puis à remplacer $\sigma$ par sa valeur approchée $\sigma =(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})\left({\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}\right),$ et ensuite développer en ne conservant que les deux premières puissances de $\varepsilon \,:$ on obtiendra en définitive,

${\begin{aligned}\mu =\varphi &+(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos .\lambda _{0}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\cos .\lambda _{0}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\\&-{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}[\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}]\\&+{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} (\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} {\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\sin .\sigma ''_{0}\sin .\sigma '_{0}}}\\&+{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} (\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})\cos .^{2}\lambda _{0}\cot .\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Dans cette série, exacte jusqu’aux termes du second ordre inclusivement, les quantités $\mathrm {Z} ,\lambda _{0},\sigma '_{0},\sigma ''_{0}$ seront évidemment données par ces relations

$\operatorname {tang} .\mathrm {Z} ={\frac {\sin .\varphi }{\cos .\lambda '\operatorname {tang} .\lambda ''-\sin .\lambda '\cos .\varphi }},\qquad \cos .\lambda _{0}=\cos .\lambda '\sin .\mathrm {Z} ,$

$\cos .\sigma '_{0}={\frac {\sin .\lambda '}{\sin .\lambda _{0}}},\quad \cos .\sigma ''_{0}={\frac {\sin .\lambda ''}{\sin .\lambda _{0}}}.$