Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/489

Pascal en a donné les premiers exemples, je le dois à l’analyse que j’ai employée, et dont j’ai puisé le principe dans la Théorie analytique des probabilités ; ouvrage aussi éminemment remarquable par la variété des questions qui y sont traitées, que par la généralité des méthodes que Laplace imaginées pour les résoudre.

§ I.

Probabilité de la répétition d’un événement dont la chance est donnée.

(1) Soit $p$ la probabilité d’un événement $\mathrm {A} ,$ et $q$ celle de l’événement contraire,, de sorte qu’on ait $p+q=1.$ Désignons par $\mathrm {P}$ la probabilité que sur un nombre $n$ d’épreuves, pendant lesquelles $p$ et $q$ seront invariables, $\mathrm {A}$ arrivera un nombre $x$ de fois et par conséquent $\mathrm {B}$ un nombre $n-x.$ Cette probabilité est égale à $p^{x}q^{n-x}$ pour chacune des combinaisons différentes dont sont susceptibles les $n$ épreuves prises $x$ à $x,$ ou $n-x$ à $n-x\,;$ on aura donc la valeur de $\mathrm {P}$ en multipliant $p^{x}q^{n-x}$ par le nombre de ces combinaisons ; ce qui donne

$\mathrm {P} ={\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots x.1.2.3\ldots n-x}}p^{x}q^{n-x}.$

Mais quand $x$ et $n-x,$ ainsi que leur somme $n,$ sont de très-grands nombres, le calcul de cette formule devient impraticable, et l’on est obligé de recourir aux méthodes d’approximation pour en obtenir la valeur.

D’après une formule connue, on a alors