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nous aurons

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} dy=\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}\left(h'+{\frac {1.3}{2}}h'''+{\frac {1.3.5}{4}}h^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+{\text{etc}}.\right).$

(5)

Dans l’hypothèse qui rend les quantités $h',h''',h^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},$ etc., très-rapidement décroissantes, la série comprise entre les parenthèses sera très-convergente, au moins dans les premiers termes, ce qui suffira pour calculer au moyen de cette dernière formule, la valeur approchée de $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} dy.$ C’est à Laplace sans que l’analyse est redevable de cette méthode pour réduire les intégrales en séries convergentes, quand les quantités soumises à l’intégration sont affectées de très-grands exposans.

(5) L’expression de l’autre intégrale $\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy$ sera différente selon que la limite $\alpha$ ou ${\frac {p}{q}},$ surpassera ou sera moindre que la valeur $h$ de $y$ qui répond au maximum de $\mathrm {Y} .$ Si l’on fait $y=\alpha ={\frac {p}{q}}$ dans l’équation (4), et qu’on y mette pour $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {H}$ leurs valeurs, on en conclura

$e^{-t^{2}}=\left({\frac {p(n+1)}{x}}\right)^{x}\left({\frac {q(n+1)}{n+1-x}}\right)^{n+1-x}\,;$

d’où l’on tire $t=\pm k,$ en faisant, pour abréger,

$k^{2}=x\log .{\frac {x}{p(n+1)}}+(n+1-x)\log .{\frac {n+1-x}{q(n+1)}}.$

(6)

Selon que la valeur $\alpha$ de $y$ sera $>$ ou $<h,$ il faudra, par hypothèse, que celle de $t$ qui lui correspond soit positive ou