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${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy=&\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} dy-\mathrm {H} (h'\mathrm {K} _{0}+3h'''\mathrm {K} _{1}+5h^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\mathrm {K} _{2}+{\text{etc}}.)\\&+\mathrm {H} \left(2h''\mathrm {K} '_{0}+4h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\mathrm {K} '_{1}+6h^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\mathrm {K} '_{2}+{\text{etc}}.\right),\end{aligned}}$

(8)

pour le cas de ${\frac {p}{q}}<h.$

Chacune des séries contenues dans ces formules, aura, en général, le même degré de convergence que la série (5). Les valeurs des intégrales désignées par $\mathrm {K} '_{i}$ ne pourront s’obtenir que par approximation, lorsque $k$ sera différent de zéro. Celles qui sont représentées par $\mathrm {K} '_{i}$ s’obtiendront sous forme finie, et l’on aura

$\mathrm {K} '_{i}={\frac {1}{2}}e^{-k^{2}}\left(k^{2i}+ik^{2i-1}+i.i-1.k^{2i-2}+\ldots \right.$

$\left.\ldots +i.i-1\ldots 2.k^{2}+i.i-1\ldots 2.1\right).$

Quand on aura exactement ${\frac {p}{q}}=h,$ on aura en même temps $k=0,$ et par conséquent

$\mathrm {K} _{i}=1.2.3\ldots 2i-1.{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},\qquad \mathrm {K} '_{i}=1.2.3\ldots i.{\frac {1}{2}}\,;$

et d’après la valeur de $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} dy,$ les formules (7) et (8) coïncideront et se réduiront à

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy=&{\frac {\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}}{2}}\left(h'+{\frac {1.3}{2}}h'''+{\frac {1.3.5}{4}}h^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+{\text{etc}}.\right)\\&+\mathrm {H} \left(2h''+1.2h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+1.2.3h^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$

(9)

(6) Nous supposerons actuellement les nombres $n,x,$ $n-x,$ assez grands pour qu’on puisse négliger dans ces dif-