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par rapport à $\mathrm {N} .$ Soit ensuite

${\begin{aligned}&{\frac {s}{m}}+f-{\frac {\beta }{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}\\&=-{\frac {u}{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}},\\&{\frac {s}{m}}+f+{\frac {\beta '}{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}\\&={\frac {u}{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {U}$ exprimera la probabilité que le nombre des événements $\mathrm {A}$ sur un nombre $n$ d’épreuves, sera renfermé entre les limites :

$\mathrm {N} \pm {\frac {u}{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}},$

(g)

ou égal à l’une d’elles. De plus, on aura à très-peu près

$\beta '=\beta =u,$

et exactement

$\beta +\beta '=2u+{\frac {m}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}}\,;$

au moyen de quoi la valeur précédente de $\mathrm {U}$ deviendra

$\mathrm {U} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {e^{-u^{2}}}{\sqrt {2n\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}},$

en négligeant les quantités de l’ordre de ${\frac {1}{n}},$ ce qui fait disparaître la différence $\Gamma -\Gamma ',$ et employant la lettre $t$ au lieu de $v$ sous le signe $\int .$ Comme on a supposé $\gamma =z$ ou $>z,$ il faudra que $u$ ne scit pas moindre que ${\frac {\alpha z}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}\,;$ quel que soit $\alpha$ ou ${\sqrt {\frac {n}{m}}},$ on satisfera à cette condition et l’on rendra la