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ensuite ce produit dans les limites des valeurs de $p$ et $p',$ ou des variables $\theta$ et $u$ dont $p$ et $p'$ dépendent, on aura la probabilité que la valeur de $p'$ surpasse celle de $p,$ d’une fraction égale ou supérieure à $\omega .$ En la désignant par $\mathrm {T} ,$ et substituant au numérateur pour $\mathrm {R}$ et $p'$ leurs expressions, nous aurons donc

$\mathrm {T} ={\frac {\int _{-z}^{z}\left(\int _{0}^{1}\left[p+\omega +u(1-p-\omega )\right]^{s'}(1-u)^{m'-s'}du\right)(1-p-\omega )^{m'-s'+1}e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta }{{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{1}(1-p')^{m'-s'}p'^{s'}dp'}}.$

Cela posé, désignons par $h$ la valeur de $u$ qui rend le coefficient de $du$ un maximum, et par $\mathrm {H}$ la valeur correspondante de ce coefficient. Nous aurons

${\frac {(1-p-\omega )s'}{p+\omega +h(1-p-\omega )}}-{\frac {m'-s'}{1-h}}=0\,;$

d’où l’on conclut

${\begin{aligned}h&={\frac {s'-m'(p+\omega )}{m'(1-p-\omega )}},\\\mathrm {H} &=\left({\frac {s'}{m'}}\right)^{s'}\left({\frac {m'-s'}{m'}}\right)^{m'-s'}(1-p-\omega )^{s'-m'}.\end{aligned}}$

Soit maintenant

$\left[p+\omega +u(1-p-\omega )\right]^{s'}(1-u)^{m'-s'}=\mathrm {H} e^{-t^{2}}.$

(i)

On pourra supposer la variable $t$ continuellement croissante avec $u,$ en sorte que $t=-\infty$ réponde à $u=0,$ dans le cas de $p+\omega =1,$ et $t=\infty$ à $u=1.$ Quelle que soit cette quantité $p+\omega ,$ si l’on désigne par $k$ une quantité positive, et par $\pm k$ la valeur de $t$ qui répond à $u=0,$ on aura

$(p+\omega )^{s'}=\mathrm {H} e^{-k^{2}}.$

(k)