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on égalera à zéro la différentielle du second membre de l’équation (14), ce qui donnera

$\log .{\frac {\mathrm {P} }{p}}={\frac {1}{2}}-\mathrm {\frac {\log .{\cfrac {P}{P'}}}{{\cfrac {P^{2}\Omega ^{2}}{P'^{2}\Omega '^{2}}}-1}} .$

(15)

La valeur de $p$ déduite de cette équation, que nous désignons par $p_{1},$ sera l’abscisse du point dont il s’agit ; et si l’on substitue cette valeur dans l’équation (14), la valeur correspondante de $\omega ,$ que nous désignons par $\omega _{1},$ sera la valeur minimum cherchée de l’ordonnée de la courbe.

Il peut arriver que le point de minimum ait $\mathrm {P} '$ et $\Omega '$ pour abscisse et pour ordonnée. Cette circonstance aura lieu si l’équation (15) est satisfaite par la valeur $p=\mathrm {P} '.$ En faisant $p=\mathrm {P} '$ dans cette équation, elle devient

$\mathrm {{\frac {P^{2}\Omega ^{2}}{P'^{2}\Omega '^{2}}}.\log .{\frac {P}{P'}}} ={\frac {1}{2}},$

(16)

en sorte que cette dernière équation indique les relations qui doivent subsister entre les quantités $\mathrm {P,P} ',$ $\Omega ,\Omega '$ pour que $\Omega '$ soit la plus petite valeur que puisse prendre l’ordonnée $\omega .$ Si le premier membre de l’équation (16) est $<{\frac {1}{2}}\,;,$ on se trouvera dans le cas de la fig. 2, où $p_{1}$ est $<\mathrm {P} '.$ Si au contraire le premier membre de cette équation est $>{\frac {1}{2}},$ on se trouvera dans le cas de la fig. 3, où $p_{1}$ est $>\mathrm {P} '.$

9. Cela posé, considérons d’abord un tuyau tel que celui qui est représenté fig. 1, dans lequel la section décroit successivement de $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {CD} .$ Si les relations entre les quantités $\mathrm {P,P} ',$ $\Omega ,\Omega '$ sont telles que l’on soit dans le cas de la fig. 2, on cherchera les pressions correspondantes aux diverses sections en descendant le long de la courbe du point $\mathrm {M}$ au point