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Mouvement de la lumière
passant par le point d’incidence du rayon : nommons
pareillement p’, θ’ et ω’ les mêmes quantités
relatives au rayon réfracté : p + p’ sera la distance
des deux plans parallèles à la face, et passant
respectivement par les deux points pris sur les
directions des deux rayons incident et réfracté.
La distance des deux plans passant respectivement
par les mêmes points, perpendiculairement
à la face, et parallèlement à la droite invariable,
sera
![{\displaystyle p\operatorname {tang} \theta .\sin \omega +p'\operatorname {tang} \theta '.\sin \omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d889b604d00585658f12cf756f291acbd1b4d43d)
Enfin la distance des deux plans passant respectivement
par les mêmes points, perpendiculairement
à la face, et à la droite invariable, sera
![{\displaystyle p\operatorname {tang} \theta .\cos \omega +p'\operatorname {tang} \theta '.\cos \omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bf774ed3589085fcd58602d569dbf3d9bdacb5)
Si l’on fait varier les angles θ, ω, θ’ et ω’, de manière
que les deux points pris sur les directions
des rayons, soient fixes ; ces trois distances resteront
les mêmes, et l’on aura les deux équations
différentielles
![{\displaystyle \scriptstyle {0\ =\ {\frac {p\ d\theta .\sin \omega }{\cos ^{2}\theta }}\ +\ p\ d\omega .\operatorname {tang} \theta .\cos \omega \ +\ {\frac {p'\ d\theta '.\sin \omega '}{\cos ^{2}\theta '}}\ +\ p'\ d\omega '.\operatorname {tang} \theta '.\cos \omega '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc36461f364d3161b685c38ba63b408d79c2e4ca)
![{\displaystyle \scriptstyle {0\ =\ {\frac {p\ d\theta .\cos \omega }{\cos ^{2}\theta }}\ -\ p\ d\omega .\operatorname {tang} \theta .\sin \omega \ +\ {\frac {p'\ d\theta '.\cos \omega '}{\cos ^{2}\theta '}}\ -\ p'\ d\omega '.\operatorname {tang} \theta '.\sin \omega '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e10b46898bb7f076eb75fc484030a60e579e75)