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car les trois intégrales totales ont une valeur commune. Donc

$\mathrm {V} =\left\{{\frac {\sin .(n_{1}a)^{2}}{(n_{1}a)^{2}\mu _{1}}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .(n_{2}a)^{2}}{(n_{2}a)^{2}\mu _{2}}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .(n_{3}a)^{2}}{(n_{3}a)^{2}\mu _{3}}}e^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc}}.\right\}^{3}.$

La quantité $n_{1}a$ est représentée plus haut par $\varepsilon _{1},$ qui est une racine de l’équation $\varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {ha}{\mathrm {K} }}.$ et $\mu$ est égale à ${\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {\sin .2\varepsilon }{2\varepsilon }}\right].$ On a donc, en désignant les différentes racines de cette équation par $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},$ etc.,

${\begin{aligned}2\mathrm {\sqrt[{3}]{V}} =\left({\frac {\sin .\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}}}\right)^{2}{\frac {e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{a^{2}}}t}}{1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{1}}{2\varepsilon _{1}}}}}&+\left({\frac {\sin .\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}}}\right)^{2}{\frac {e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{a^{2}}}t}}{1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{2}}{2\varepsilon _{2}}}}}\\&+\left({\frac {\sin .\varepsilon _{3}}{\varepsilon _{3}}}\right)^{2}{\frac {e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{3}^{2}}{a^{2}}}t}}{1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{3}}{2\varepsilon _{3}}}}}+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

$\varepsilon _{1}$ est entre $0$ et ${\frac {\pi }{2}},$ $\varepsilon _{2}$ entre $\pi$ et $3{\frac {\pi }{2}},$ $\varepsilon _{3}$ entre $2\pi$ et $5{\frac {\pi }{2}},$ etc. : les moindres limites $\pi ,2\pi ,3\pi ,$ etc. approchent de plus en plus des racines $\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\varepsilon _{4},$ etc., et finissent par se confondre avec elles lorsque l’indice $n$ est très-grand. Les arcs doubles $2\varepsilon _{1},2\varepsilon _{2},2\varepsilon _{3},$ etc., sont compris entre $0$ et $\pi ,$ entre $2\pi$ et $3\pi ,$ entre $4\pi$ et $5\pi ,$ etc.; c’est pourquoi les sinus de ces arcs sont tous positifs. Les quantités

$1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{1}}{2\varepsilon _{1}}},\quad 1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{2}}{2\varepsilon _{2}}},\quad 1+{\frac {\sin .2\varepsilon _{3}}{2\varepsilon _{3}}},\quad$etc.,

sont positives et comprises entre $1$ et $2.$ Il résulte de là que tous les termes qui entrent dans la valeur de $2\mathrm {\sqrt[{3}]{V}}$ sont positifs.