- EXPOSÉ SUCCINCT DES PRINCIPAUX RÉSULTATS.
Mes travaux mathématiques ont eu jusqu'ici quatre objets principaux :
- 1) Étude des équations différentielles;
- 2) Théorie générale des fonctions ;
- 3) Algèbre et Arithmétique;
- 4) Mécanique céleste.
Toutefois, je n'ai pas poursuivi ces quatre buts indépendamment l'un de l'autre et sans profiter de l'appui mutuel que se prêtent ces théories, en apparence si différentes.
Ainsi, mes recherches sur les fonctions, que j'ai appelées fuchsiennes, se rattachent à la fois à l'étude des équations différentielles, puisqu'elles me permettent d'intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, et à la théorie générale des fonctions, puisque ces transcendantes présentent des particularités remarquables, qui sont de nature à jeter quelque lumière sur la manière d'être des fonctions analytiques.
Ce n'est pas tout; il y a une théorie qui m'a été également utile dans toutes mes recherches : c'est celle des groupes formés par des substitutions linéaires. Ces substitutions jouent en effet, à la fois, un rôle prépondérant dans l'étude des équations linéaires et dans celle des formes arithmétiques. C'est à cette circonstance que l'on doit attribuer les rapprochements, souvent inattendus, que je signalerai plus loin, entre la théorie des nombres et celle des fonctions fuchsiennes, théories qui ne semblent pourtant, au premier abord, avoir aucun point de contact.
Quels que soient cependant ces liens plus ou moins intimes entre des ordres d'idées qui paraissent fort différents, je crois pouvoir, pour exposer avec ordre les résultats de mes travaux, adopter la classification que j'ai esquissée plus haut.
Voici maintenant quels sont dans ces quatre domaines les principaux rés
