définies par ces équations; au contraire, la théorie des points singuliers des équations du second ordre ne saurait suffire à elle seule pour nous faire pénétrer aussi profondément dans la connaissance des courbes C. Il faut introduire, en outre, une notion nouvelle qui joue, dans une certaine mesure, le même rôle que les points singuliers. Soient C(0) une courbe fermée quelconque satisfaisant à notre équation, et D un domaine comprenant tous les points suffisamment voisins de C(0); nous pouvons étudier la forme et la disposition générale des courbes C à l'intérieur de ce domaine. On reconnaîtra ainsi, indépendamment d'un grand nombre de cas moins importants, quatre cas principaux, qui sont les suivants:
- 1) On peut faire passer par la courbe C(0) deux surfaces que l'on peut sillonner par une infinité de courbes C satisfaisant aux équations (4).
Les autres courbes C, après être entrées dans le domaine D et s'être rapprochées de C(0), s'en éloignent ensuite et finissent par sortir du domaine. Je n'ai rien à ajouter sur ce premier cas, qui nous apprend peu de chose sur les propriétés de nos courbes.
- 2) On peut construire une surface S présentant une forme annulaire analogue à celle du tore, et à l'intérieur de laquelle se trouve la courbe C(0), de la même façon que le cercle, lieu des centres des cercles méridiens, se trouve à l'intérieur d'un tore.
De plus, cette surface S n'est tangente en aucun point, à aucune des courbes C : c'est une surface sans contact. Considérons un point mobile décrivant une courbe C; dès qu'il sera sorti de la surface S, il n'y pourra plus rentrer; nous avons donc instabilité, et cela semble être ici le cas général.
- 3) On peut construire une surface S analogue à celle dont nous venons de parler; mais elle ne sera pas une surface sans contact, elle sera au contraire sillonnée par une infinité de courbes C.
Alors, si notre point mobile est situé sur la surface S, il y restera toujours; de plus, s'il part d'une position initiale quelconque, il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position. Son orbite est donc stable.
- 4) Dans le quatrième cas enfin, le point mobile peut aller aussi près que l'on veut d'un point quelconque du domaine D, et, s'il part d'une position initiale donnée, il finira toujours par revenir aussi près que l'on veut de cette position.
Dans ce sens, il y a donc stabilité, et la démonstration de cette stabilité serait complète, si l'on savait assigner des limites aux coordonnées du point mobile. Malheureusement, mes méthodes ne me permettent presque jamais de distinguer le troisième cas du quatrième, ni, dans le quatrième, de trouver les limites entre lesquelles les coordonnées du point mobile restent comprises. C'est là une lacune importante que jusqu'ici j'ai vainement essayé de combler.
Ce troisième et ce quatrième cas ne se présentent que si X, Y et Z satisfont à
