J'ai cherché, en particulier, les conditions de convergence des séries dont le (n)ième terme est un coefficient constant multiplié par un polynôme entier P(n)(x) de degré n, en supposant qu'il y ait entre un certain nombre de polynômes P(n) consécutifs une relation de récurrence. Les séries ordonnées suivant les polynômes de Legendre n'en sont évidemment que des cas particuliers. J'ai trouvé que les régions où ces séries convergent sont limitées par certaines courbes de convergence et j'ai déterminé ces courbes en remarquant que la série
Sigma(P(n)*(z^n)),
considérée comme fonction de z, satisfait à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en z et en x.
VII. - Théorie générale des fonctions de deux variables.
Il semble d'abord que, pour étudier les fonctions de deux variables, il suffit d'appliquer, sans y rien changer, les principes qui ont servi à établir les propriétés des fonctions d'une seule variable. Il n'en est rien; il y a entre les deux théories des différences essentielles et l'on ne saurait passer de l'une à l'autre par une simple généralisation.
Cette différence apparaît dès que l'on considère les polynômes entiers qui sont décomposables en facteurs s'il n'y a qu'une variable et ne le sont plus dans le cas contraire. Je laisserai de côté pour le moment les difficultés que l'on a éprouvées en voulant généraliser la théorie des résidus de Cauchy, car j'y veux consacrer le paragraphe suivant. J'insisterai seulement sur un exemple qui met bien en évidence les différences dont je viens de parler : c'est l'étude des fonctions méromorphes dans tout le plan, c'est-à-dire des transcendantes qui ne présentent à distance finie d'autres singularités que des infinis.
On sait que M. Weierstrass a démontré que, si une fonction d'une seule variable est méromorphe dans tout le plan, elle peut être regardée comme le quotient de deux fonctions entières. Pour arriver à ce résultat, le célèbre géomètre de Berlin construit une fonction entière qui s'annule pour tous les infinis de la fonction méromorphe donnée. Le produit des deux fonctions, ne devenant plus infini, est une fonction entière. Pour construire la transcendante en question, il faut considérer séparément les différents infinis de la fonction méromorphe donnée.
La méthode de M. Weierstrass parait donc, au premier abord, ne pas pouvoir s'étendre aux fonctions de deux variables, dont les infinis sont non plus des
