leurs propriétés dans le voisinage d'un point donné, par les lemmes que j'ai démontrés au début de ma thèse inaugurale. Supposons qu'une équation
F(z, x(1), x(2), ..., x(n)) = 0,
définissant z comme fonction implicite de x(1), x(2), ..., x(n), soit satisfaite pour le système de valeurs
z = x(1) = x(2) = ... = x(n) = 0,
et que nous étudiions la fonction dans un domaine voisin de ce système de valeurs. Je suppose de plus que dans ce domaine la fonction F soit holomorphe.
On sait depuis longtemps que si dF/dz n'est pas nul, z est fonction holomorphe de x(1), x(2), ..., x(n). J'ai cherché ce qui se passe lorsque dF/dz est nul en même temps que ((d^2)(F))/(d(z^2)), ((d^3)(F))/(d(z^3)), ..., ((d^(m - 1)(F))/(d(z^(m -1)) mais que la (m)ième dérivée n'est pas nulle. J'ai démontré que dans ce cas z satisfait à une équation algébrique de la forme
z^m + B(m - 1)*(z^(m - 1) + B(m - 2)*(z^(m - 2) + ... + B(1)*z + B(0) = 0,
dont les coefficients A sont des fonctions holomorphes des x. J'ai obtenu ensuite un résultat analogue pour le cas où l'on a p fonctions implicites de n variables définies par p équations simultanées.
VIII. - Intégrales multiples.
La théorie qui a le plus contribué à faciliter l'étude des fonctions d'une variable est certainement celle des intégrales prises entre des limites imaginaires. Elle conduit, comme on le sait, à envisager les périodes de ces intégrales et à distinguer les périodes polaires (correspondant aux résidus) des périodes cycliques.
Un des points les plus importants est d'ailleurs l'étude des intégrales abéliennes, c'est-à-dire des intégrales de différentielles algébriques; cette théorie est ordinairement présentée sous une forme géométrique, ce qui a amené à dire, pour abréger, que ces intégrales appartiennent à une courbe algébrique D.
Quand on passe aux fonctions de deux variables, la notion de ces intégrales et de leurs périodes peut se généraliser à deux points de vue différents: par les intégrales de différentielles totales et par les intégrales doubles. Je ne m'étendrai pas beaucoup sur le premier de ces modes de généralisation. 11 ne m'appartient pas, en effet : c'est M. Picard qui en a tiré les premiers et les plus beaux résultats. Je n'ai fait qu'appeler l'attention (51) à la suite de la Note de M. Picard, sur quelques
