e Cauchy.
Ces résultats s'appliquent, "mutatis mutandis", aux transcendantes et, en particulier, aux fonctions uniformes.
Cette théorie nouvelle sera-t-elle aussi féconde que l'ont été les découvertes de Cauchy? Elle est encore trop jeune pour qu'on puisse se prononcer sur ce point. Certainement quelques-uns des résultats qu'on peut obtenir ainsi, et par une généralisation immédiate des méthodes de Cauchy, auraient pu être atteints plus aisément par d'autres voies. Mais on peut espérer qu'il n'en sera pas toujours de même, et déjà je suis sur la voie de propositions réellement nouvelles sur la théorie des fonctions abéliennes.
Après cette revue des travaux que j'ai consacrés à la théorie générale des fonctions, je suis naturellement amené à passer à l'étude de diverses fonctions particulières. J'ai déjà parlé plus haut des fonctions fuchsiennes. Il me reste à résumer mes recherches sur les fonctions elliptiques, sur les fonctions abéliennes et sur les fonctions hyper-fuchsiennes.
IX. - Fonctions elliptiques.
J'ai fait fort peu de chose sur les fonctions elliptiques. Cependant j'ai donné, dans un Mémoire d'Arithmétique (1, 97), une façon d'exprimer ces fonctions à l'aide d'une intégrale définie. On sait que les fonctions doublement périodiques peuvent se décomposer en éléments simples de la forme (sigma'(u - alpha))/(sigma(u - alpha)), ou de la forme
((d^n)/(d(u^n)))((sigma'(u - alpha))/(sigma(u - alpha))).
Il suffit donc d'exprimer par une intégrale définie la fonction
(sigma'(u))/(sigma(u)) = 1/u + Sigma(1/(u - w) + 1/w + u/(w^2)),
où w = 2*mu*omega + 2*(mu')*(omega') et où mu et mu' peuvent prendre tous les systèmes de valeurs entières positives et négatives, excepté mu = mu' = 0. On pourra évidemment décomposer la série du second membre en quatre autres : la première comprenant les termes où mu et mu' sont positifs, la seconde les termes où mu est positif et mu' négatif ou nul, la troisième ceux où mu est négatif ou nul et mu' positif, la quatrième enfin ceux où mu et mu' sont négatifs ou nuls. Cette décomposition est analogue à la décomposition de Pi*cot(x*Pi) en une somme de deux termes dépendant des fonctions eulériennes
Pi*cot(x*Pi) = (Gamma'(x))/(Gamma(x)) - (Gamma'(1 - x))/(Gamma(1 - x)).
