laissant de côté tous les autres. J'ai indiqué (58) un moyen d'arriver à ce résultat par l'étude de la transformation des fonctions fuchsiennes; mais je n'ai pas eu le temps d'approfondir cette théorie.
L'étude systématique des fonctions abéliennes devait naturellement commencer par l'examen des cas de réduction, la suite de cet exposé le fera suffisamment comprendre ; mais ce n'était qu'un premier pas, et bien d'autres problèmes restaient à résoudre.
On vient de voir que les fonctions Thêta, définies à l'aide des intégrales abéliennes de première espèce, ne sont que des cas très particuliers des séries Thêta les plus générales. On peut donc concevoir une infinité de fonctions de n variables, admettant 2n systèmes de périodes et ne rentrant pas dans la catégorie spécialement étudiée par Riemann. Ces fonctions peuvent-elles être toujours regardées comme le quotient de deux fonctions Thêta? Riemann était parvenu à le démontrer; mais il n'a jamais publié sa démonstration. M. Weierstrass a retrouvé le même résultat, mais il n'a pas publié non plus la méthode dont il s'est servi.
Abordant l'étude de ces fonctions, que je n'assujettissais qu'à la condition d'être périodiques (11), je reconnus qu'on pouvait toujours les tirer des fonctions abéliennes ordinaires, obtenues par la méthode d'inversion de Jacobi, en appliquant le procédé de la réduction des intégrales abéliennes.
Dans ces conditions, nous devions naturellement songer, M. Picard et moi, à unir nos efforts pour retrouver le résultat de Riemann. Nous reconnûmes (40) qu'il devait y avoir entre les périodes les mêmes relations que dans le cas particulier des fonctions nées de l'inversion des intégrales abéliennes. II était aisé d'en conclure que toutes les fonctions à n variables et à 2n périodes s'expriment par le moyen des séries Thêta.
L'existence de ces fonctions périodiques, en face desquelles le procédé de l'inversion est impuissant, fait mieux ressortir la nécessité où nous nous trouvons d'établir la théorie des fonctions abéliennes en partant des séries Thêta elles-mêmes.
On sait qu'il est possible de fonder sur l'étude directe des fonctions Thêta à une seule variable toute la théorie des fonctions elliptiques; le point de départ est ce fait que l'équation
Thêta(x) = 0,
n'a qu'une seule racine à l'intérieur du parallélogramme des périodes. De là l'importance du problème suivant, dont la solution (85, 11) doit évidemment précéder toute étude directe des séries Thêta à plusieurs variables : Combien les équations simultanées
(1) Thêta(x(1) -
