entiers. On peut rechercher alors les substitutions qui reproduisent la forme quadratique et qui en même temps appartiennent à un autre groupe, par exemple à un sous-groupe du groupe G. Cela nous permet en même temps de généraliser la théorie de l'équivalence des formes et de leur réduction. On obtient aisément des groupes de ces substitutions semblables généralisées et l'on reconnaît que ce sont encore des groupes fuchsiens. En réfléchissant ensuite aux relations de ces divers groupes fuchsiens, j'ai démontré que les fonctions fuchsiennes correspondantes jouissent d'une propriété analogue au théorème d'addition des fonctions elliptiques, ce qui n'est pas vrai des fonctions fuchsiennes les plus générales.
Passons maintenant aux formes d'ordre supérieur au second (80). Le premier problème à résoudre est la réduction de ces formes et l'étude des conditions de leur équivalence. La solution a été trouvée par M. Hermite; bien que le savant géomètre n'ait parlé que des formes binaires et des formes quadratiques, sa méthode s'applique, sans qu'on ait rien à y changer, à une forme tout à fait quelconque. C'est ainsi que M. Jordan, étendant à un cas très général un théorème de M. Hermite, a démontré que, toutes les fois que le discriminant n'est pas nul, toutes les formes qui ont mêmes invariants algébriques se répartissent en un nombre fini de classes. J'ai moi-même généralisé le théorème de M. Jordan, en montrant qu'il subsiste, pourvu que certains invariants ne soient pas tous nuls à la fois.
J'ai cherché ensuite à appliquer la méthode générale aux formes cubiques ternaires que j'avais déjà étudiées au point de vue algébrique dans un Mémoire précédent. Je suis arrivé à trouver les limites supérieures des coefficients d'une réduite dont les invariants sont donnés, pourvu que le discriminant ne soit pas nul. Le nombre des classes est alors limité et, dans chaque classe, il n'y a qu'une réduite.
Lorsque la forme égalée à zéro représente une courbe de quatrième classe, le discriminant est nul et le nombre des classes est infini, mais chacune d'elles ne contient qu'une réduite. Si la courbe est de troisième classe, le nombre des classes est infini et chacune d'elles contient un nombre fini de réduites formant une chaîne limitée a ses deux extrémités. Si la courbe se décompose en une conique et une droite qui la coupe, le nombre des classes est tantôt fini et tantôt infini ; de plus, la chaîne fermée par les réduites d'une même classe est, tantôt limitée comme dans le cas précédent, tantôt illimitée de telle façon que les mêmes réduites s'y reproduisent périodiquement. Si enfin la droite est tangente à la conique, les réduites ne forment plus une chaîne, mais un réseau.
J'ai ensuite appliqué la même méthode, non plus à une forme unique, mais à
