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— 70 —

Mais ces opérations ont aussi une propriété :

76.

a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\supset .\,a\,\smallsmile \,a=a

77.

a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\supset .\,a\,\smallfrown \,a=a

qu’on peut appeler simplificative, dont ne jouissent pas les opérations correspondantes de l’Arithmétique

(car, si «

a\,\varepsilon \,\mathrm {N}

», alors «

a+a=2a

» et «

a\times a=a^{2}

»).

Les propriétés commutative et simplificative avaient été remarquées par Leibniz ; la propriété associative du signe « $\smallfrown$ » a été découverte par Boole (a. 1854) et celle du signe « $\smallsmile$ », par Schröder (a. 1877).

95. Tout le monde sait que, si « $a,b,c\,\varepsilon \,\mathrm {N}$ », alors
$c\times (a+b)=(c\times a)+(c\times b)$
et $\,(a+b)\times c\ \,=(a\times c)+(b\times c)$

ce qu’on exprime en disant que la multiplication est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’addition.

Eh bien ! Chacune des opérations logiques représentées par les signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ » est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’autre ; c’est-à-dire :

78. $c\smallfrown (a\smallsmile b)=(c\smallfrown a)\smallsmile (c\smallfrown b)$
79. $(a\smallsmile b)\smallfrown c=(a\smallfrown c)\smallsmile (b\smallfrown c)$
80. $c\smallsmile (a\smallfrown b)=(c\smallsmile a)\smallfrown (c\smallsmile b)$
81. $(a\smallfrown b)\smallsmile c=(a\smallsmile c)\smallfrown (b\smallsmile c)$

La propriété distributive du signe « $\smallfrown$ » par rapport au signe « $\smallsmile$ »
Fig. 7. a été découverte par Lambert (a. 1781) et celle du signe « $\smallsmile$ » par rapport au signe « $\smallfrown$ » par Peirce (a. 1867).

Voilà donc un autre manque d’analogie, puisqu’en Arithmétique l’addition n’est pas distributive par rapport à la multiplication^[1].

Les $\mathrm {P}$ 79 et 81 sont des conséquences immédiates des $\mathrm {P}$ 78 et 80, d’après les $\mathrm {P}$ 73 et 72.

On peut vérifier chacune des $\mathrm {P}$ 74, 75, 78, 79, 80, 81 en exécutant séparément sur la figure 7 [34] les opérations indiquées par leurs deux membres^[2].

↑ On devrait avoir :
$a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$
ce qui est vrai seulement si
« $a=0$ » ou si « $a+b+c=1$ ».
↑ Cette figure représente le cas le plus général, au sens que les trois $\mathrm {Cls}$ qu’on

[1] On devrait avoir :
$a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$
ce qui est vrai seulement si
« $a=0$ » ou si « $a+b+c=1$ ».

[p76-2] Cette figure représente le cas le plus général, au sens que les trois $\mathrm {Cls}$ qu’on

[1]

[2]