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Mais ces opérations ont aussi une propriété :
76.
|
77.
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qu’on peut appeler simplificative, dont ne jouissent pas les opérations correspondantes de l’Arithmétique
(car, si «
», alors «
» et «
»).
Les propriétés commutative et simplificative avaient été remarquées par Leibniz ; la propriété associative du signe « » a été découverte par Boole (a. 1854) et celle du signe « », par Schröder (a. 1877).
95. Tout le monde sait que, si « », alors
et
ce qu’on exprime en disant que la multiplication est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’addition.
Eh bien ! Chacune des opérations logiques représentées par les signes « » et « » est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’autre ; c’est-à-dire :
78.
79.
80.
81.
La propriété distributive du signe « » par rapport au signe « »
Fig. 7.
a été découverte par Lambert (a. 1781) et celle du signe « » par rapport au signe « » par Peirce (a. 1867).
Voilà donc un autre manque d’analogie, puisqu’en Arithmétique l’addition n’est pas distributive par rapport à la multiplication[1].
Les 79 et 81 sont des conséquences immédiates des 78 et 80, d’après les 73 et 72.
On peut vérifier chacune des 74, 75, 78, 79, 80, 81 en exécutant séparément sur la figure 7 [34] les opérations indiquées par leurs deux membres[2].
- ↑ On devrait avoir :
ce qui est vrai seulement si
« » ou si « ».
- ↑ Cette figure représente le cas le plus général, au sens que les trois qu’on