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l’énergie

origine des potentiels. Si cette origine $\mathrm {O}$ est prise à l’infini, nous aurons, pour tout point $\mathrm {M}$ :

$V=-\mathrm {G} \sum {\frac {\mathrm {M} }{r}}.$

Une surface équipotentielle est définie par la condition que le potentiel y est constant (il ne faut aucun travail pour transporter une masse d’un point à un autre d’une telle surface).

Soient $\mathrm {S}$, $\mathrm {S} ^{\prime }$ deux surfaces équipotentielles très voisines (fig. 10), avec différence de potentiel $d\mathrm {V} .$ Soit $\mathrm {P}$ un point quelconque sur $\mathrm {S}$, et sur $\mathrm {S} ^{\prime }$ un point $\mathrm {P} '$ voisin de $\mathrm {P}$.
Fig. 10. Si $\mathrm {h} _{x}$ est la composante du champ dans la direction $\mathrm {P} \mathrm {P} '$, nécessairement $\mathrm {h} _{x}\mathrm {P} \mathrm {P} ^{\prime }$ est égal à $(-d\mathrm {V} )$ ; $\mathrm {h} _{x}$ est donc maximum et devient le champ $\mathrm {h}$ en $\mathrm {P}$ quand $\mathrm {P} \mathrm {P} ^{\prime }$ est normal à $\mathrm {S}$ ; en chaque point d’une surface équipotentielle le champ est perpendiculaire à la surface (fig. 10). Donc la ligne de force qui passe par un point quelconque $\mathrm {P}$ d’une surface équipotentielle, étant tangente au champ, est normale à la surface équipotentielle.

37. L’énergie potentielle de gravitation. — L’énergie potentielle de gravitation d’un système de masses se calcule comme il suit : soit, au point où se trouve l’une $\mathrm {M}$ de ces masses, $\mathrm {V}$ le potentiel dû aux autres masses (origine des potentiels à l’infini). Imaginons la distribution de même configuration, mais où toutes les masses (et par suite le champ en chaque point) seraient multipliées par un facteur $\lambda$ inférieur à 1 ; en sorte que le potentiel au point où est la masse $\lambda \mathrm {M}$ serait $\lambda \mathrm {V}$. Pour amener cette distribution de l’état $\lambda$ à l’état $(\lambda +d\lambda )$ on pourrait amener de l’infini les masses $d\mathrm {M}$ ou $\mathrm {M} d\lambda$ en recevant le travail :

$\sum \mathrm {M} d\lambda .\lambda \mathrm {V} =\sum \mathrm {M} \mathrm {V} .\lambda d\lambda .$

Pour passer de l’état où $\lambda$ est nul (pas de masses) à l’état où $\lambda$ est égal à 1 (configuration donnée), il faudrait donc recevoir :

$\sum \mathrm {M} \mathrm {V} \int _{0}^{1}\lambda d\lambda ={\frac {1}{2}}\sum \mathrm {M} \mathrm {V} .$

Cette expression mesure la diminution de l’énergie potentielle