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LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ

Une de ces équations entraîne donc l’autre. Les premiers membres de ces équations ne diffèrent donc que par un facteur, et la réciprocité^[1] des deux systèmes exige que ce facteur soit égal à l’unité. On a donc

(1)

$c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}d\mathrm {T} ^{2}-d\mathrm {X} ^{2},$

ce qui détermine les expressions cherchées, en ajoutant la condition que la vitesse de $\Omega$ par rapport à $\mathrm {O}$ est égale à $v$. On trouve ainsi

(2)

${\begin{aligned}x&={\frac {\mathrm {X} +v\mathrm {T} }{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},&t&={\frac {\mathrm {T} +{\dfrac {v\mathrm {X} }{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}$

d’où se déduit de suite

(3)

${\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},&\mathrm {T} &={\frac {t-{\dfrac {vx}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}$

équations auxquelles on adjoindra ${y=\mathrm {Y} }$, ${z=\mathrm {Z} }$, ces deux coordonnées n’ayant pas changé puisque S a, par rapport à σ, une translation dans le sens de l’axe des $x$.

Si le sens de la translation uniforme avait été quelconque, on aurait eu une transformation plus

1. Cette réciprocité s’exprime en écrivant que la longueur, dans le système σ, d’une longueur un immobile par rapport à S est égale à la longueur, dans le système S, d’une longueur un immobile par rapport à σ.