babilité, pour que cette division soit rouge, est évidemment .
L’aiguille va tourner d’un angle θ, comprenant plusieurs circonférences ; j’ignore quelle est la probabilité pour que l’aiguille soit lancée avec une force telle que cet angle soit compris entre θ et θ + dθ ; mais, je puis faire une convention ; je puis supposer que cette probabilité est φ(θ)dθ ; quant à la fonction φ(θ), je puis la choisir d’une façon entièrement arbitraire ; il n’y a rien qui puisse me guider dans mon choix ; cependant, je suis naturellement conduit à supposer cette fonction continue.
Soit ε la longueur (comptée sur la circonférence de rayon 1) de chaque subdivision rouge ou noire.
Il faut calculer l’intégrale de φ(θ)dθ en l’étendant, d’une part, à toutes les divisions rouges, d’autre part, à toutes les divisions noires, et comparer les résultats.
Considérons un intervalle 2ε, comprenant une division rouge et la division noire qui la suit. Soit M et m, la plus grande et la plus petite valeur de la fonction φ(θ) dans cet intervalle. L’intégrale étendue aux divisions rouges sera plus petite que ∑Mε ; l’intégrale étendue aux divisions noires sera plus grande que ∑mε ; la différence sera donc plus petite que ∑(M − m)ε. Mais, si la fonction φ est supposée continue ; si, d’autre part, l’intervalle ε est très petit par rapport à l’angle total parcouru par l’aiguille, la différence M − m sera très petite.
