pas à faire un grand pas par la publication du célèbre mémoire de Riemann intitulé : Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zum Grunde liegen. Cet opuscule a inspiré la plupart des travaux récents dont je parlerai plus loin et parmi lesquels il convient de citer ceux de Beltrami et de Helmholtz.
La Géométrie de Lobatchevsky. — S’il était possible de déduire le postulatum d’Euclide des autres axiomes, il arriverait évidemment qu’en niant le postulatum, et en admettant les autres axiomes, on serait conduit à des conséquences contradictoires ; il serait donc impossible d’appuyer sur de telles prémisses une géométrie cohérente.
Or c’est précisément ce qu’a fait Lobatchevsky. Il suppose au début que :
L’on peut par un point mener plusieurs parallèles à une droite donnée ;
Et il conserve d’ailleurs tous les autres axiomes d’Euclide. De ces hypothèses, il déduit une suite de théorèmes entre lesquels il est impossible de relever aucune contradiction et il construit une géométrie dont l’impeccable logique ne le cède en rien à celle de la géométrie euclidienne.
Les théorèmes sont, bien entendu, très différents de ceux auxquels nous sommes accoutumés et ils ne laissent pas de déconcerter un peu d’abord.
Ainsi la somme des angles d’un triangle est tou-
