C’est ce qui ressort d’abord de la définition de la ligne droite. On en a donné beaucoup de défectueuses, mais la véritable est celle qui est sous-entendue dans toutes les démonstrations où la ligne droite intervient :
« Il peut arriver que le mouvement d’une figure invariable soit tel que tous les points d’une ligne appartenant à cette figure restent immobiles pendant que tous les points situés en dehors de cette ligne se meuvent. Une pareille ligne s’appellera une ligne droite ». Nous avons à dessein, dans cet énoncé, séparé la définition de l’axiome qu’elle implique.
Beaucoup de démonstrations, telles que celles des cas d’égalité des triangles, de la possibilité d’abaisser une perpendiculaire d’un point sur une droite, supposent des propositions qu’on se dispense d’énoncer, puisqu’elles obligent à admettre qu’il est possible de transporter une figure dans l’espace d’une certaine manière.
La quatrième géométrie. — Parmi ces axiomes implicites, il en est un qui me semble mériter quelque attention, parce qu’en l’abandonnant, on peut construire une quatrième géométrie aussi cohérente que celles d’Euclide, de Lobatchevsky et de Riemann.
Pour démontrer que l’on peut toujours élever en un point A une perpendiculaire à une droite AB, on considère une droite AC mobile autour du point A et primitivement confondue avec la droite fixe AB ;
