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hypothèse de m. du ligondès

$d\sigma$ représentant ici l’élément linéaire de la courbe

${\begin{aligned}\mathrm {J} _{1}&=\mathrm {J} _{1}^{0},&\mathrm {J} _{2}&=\mathrm {J} _{2}^{0},\end{aligned}}$

ce qui nous amène à définir le long de cette courbe une densité linéaire

$\rho '=\rho \zeta ,$

proportionnelle à la section droite $\zeta$ du tube ; et ici l’on aura ${\frac {1}{\zeta ^{2}}}$ proportionnel à

$\left[{\frac {\mathrm {D} (\mathrm {J} _{1},\mathrm {J} _{2})}{\mathrm {D} (y,z)}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {D} (\mathrm {J} _{1},\mathrm {J} _{2})}{\mathrm {D} (z,x)}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {D} (\mathrm {J} _{1},\mathrm {J} _{2})}{\mathrm {D} (x,y)}}\right]^{2}\cdot$

Plaçons-nous à présent dans le cas général d’un espace à $2n$ dimensions, et supposons que les équations de mouvement (9) admettent $k$ intégrales

$\mathrm {J} _{1}={\text{const.}},\quad \mathrm {J} _{2}={\text{const.}},\quad \dots ,\quad \mathrm {J} _{k}={\text{const.}}.$

L'ensemble de ces $k$ équations définit une fusille de multiplicités à $2n-k$ dimensions, le long desquelles $\rho$ est constant, tout en pouvant varier de l’une à l’autre. Nous pourrons encore considérer un élément $d\sigma$ d’une de ces multiplicités, et chercher une densité fictive $\rho '$ correspondante : nous trouverons encore

$\rho '=\rho \zeta ,$

${\frac {1}{\zeta ^{2}}}$ étant ici proportionnel à

$\sum \Delta ^{2},$

où les $\Delta$ sont les différents jacobiens d’ordre $k$ qu’on peut former avec les $k$ fonctions $\mathrm {J}$ et les $2n$ variables $q_{i}$ et $p_{i}.$

Le résultat serait le même, et nous trouverions la même densité, fictive $\rho ',$ si nous posions le problème d’une façon un peu différente. Supposons que les équations de mouvement (9), au lieu d’admettre $k$ intégrales, en admettent seulement $h$

(11)

$\mathrm {J} _{1}={\text{const.}},\quad \mathrm {J} _{2}={\text{const.}},\quad \dots ,\quad \mathrm {J} _{h}={\text{const.}}\,;$

mais nous imposons à notre système l’obligation de satisfaire à $k-h$ autres conditions

(12)

$\mathrm {J} _{h+1}={\text{const.}},\quad \mathrm {J} _{h+2}={\text{const.}},\quad \dots ,\quad \mathrm {J} _{k}={\text{const.}},$