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hypothèses cosmogoniques

désignant le paramètre de l’orbite elliptique dont $2a$ est le grand axe. Nous avons aussi l’équation des aires

$r^{2}{\frac {dv}{dt}}=\mathrm {C} ,$

la constante des aires $\mathrm {C}$ ayant pour valeur

$\mathrm {C} ={\sqrt {\mathrm {M} p}},$

où $\mathrm {M}$ représente la masse du Soleil. (Nous négligeons la masse de la planète vis-à-vis de celle du Soleil.) Le moyen mouvement $n$ est lié au demi-grand axe $a$ par la troisième loi de Képler

(3)

$n^{2}a^{3}=\mathrm {M} .$

Enfin l’équation des forces vives donne

$\mathrm {T} -{\frac {\mathrm {M} }{r}}=-{\frac {\mathrm {M} }{2a}},$

$\mathrm {M}$ étant la demi-force vive.

Différentiant l’équation (1) par rapport au temps, il vient

${\begin{aligned}{\frac {dr}{dt}}&={\frac {pe\sin v}{(1+e\cos v)^{2}}}{\frac {dv}{dt}}\\[0.75ex]&={\frac {pe\sin v}{(1+e\cos v)^{2}}}{\frac {\mathrm {C} }{r^{2}}}\\[0.75ex]&={\frac {pe\sin v}{(1+e\cos v)^{2}}}{\frac {\mathrm {C} }{p^{2}}}(1+e\cos v)^{2}\\[0.75ex]&={\frac {\mathrm {C} }{p}}\,e\sin v.\end{aligned}}$

Or ${\frac {dr}{dt}}$ est la composante de la vitesse suivant le rayon vecteur. La composante perpendiculaire à ce rayon a pour valeur

${\begin{aligned}r{\frac {dv}{dt}}&={\frac {\mathrm {C} }{r}}\\[0.5ex]&={\frac {\mathrm {C} }{p}}(1+e\cos v).\end{aligned}}$

Des deux composantes de la vitesse $\mathrm {V}$ nous déduisons, pour le carré de cette vitesse,

$\mathrm {V} ^{2}={\frac {\mathrm {C} ^{2}}{p^{2}}}(1+2e\cos v+e^{2}).$